Matematik

Betemme differentialkvotienten vha. Tre trins reglen

18. december 2019 af Repeno - Niveau: B-niveau

Jeg studieportalen.

Jeg er lidt i tvivl om hvordan jeg skal find $f'(x)$ (differentialkvotienten), af ligningen $3x^3$ , ved brug af tre trins reglen

Jeg ved at man skal bruge denne formel $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ .

Jeg har indtil videre sat dette ind i formlen $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3(x+\Delta x)^3-3x^3}{\Delta x}$

Nogle der kan hjælpe mig med denne opgave? - Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. december 2019 af Covem

Det du har fat i er et bevis - det skal du ikke bruge for at løse selve opgaven.

Du skal bruge formlen:

Når du har en funktion på følgende form

$f(x)=a*x^n$

Finder du differentialkvotienten ved at gøre følgende

$f'(x)=n*a*x^(n-1)$

Den sidste del ser lidt underlig ud, men kunne ikke lige få den til at gøre, som jeg ville have det. Der står 'x' opløftet i (n-1)

Svar #2
18. december 2019 af Repeno

#1
Det du har fat i er et bevis - det skal du ikke bruge for at løse selve opgaven.

Du skal bruge formlen:

Når du har en funktion på følgende form

$f(x)=a*x^n$

Finder du differentialkvotienten ved at gøre følgende

$f'(x)=n*a*x^(n-1)$

Den sidste del ser lidt underlig ud, men kunne ikke lige få den til at gøre, som jeg ville have det. Der står 'x' opløftet i (n-1)

Den regneregl kender jeg godt, jeg ved også at $f(x)=3x^3 = f'(x)=9x^2$ . Men jeg skal lave udregningen med mellem trin, altså Tre trins reglen :D

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. december 2019 af Bibo53

Jeg kunne godt lave hele opgaven for dig, men i første omgang får du et vink: Benyt regnereglen $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ (Binomialformlen).

Svar #4
18. december 2019 af Repeno

#3
Jeg kunne godt lave hele opgaven for dig, men i første omgang får du et vink: Benyt regnereglen $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ (Binomialformlen).

Jeg har fået det her indtil videre? - Er det korrekt?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-12-18 kl. 21.39.52.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. december 2019 af Bibo53

Ja, så skal du gange med 3 og trække $3x^3$ fra.

Svar #6
18. december 2019 af Repeno

Så kommer den til at se sådan her ud i formlen ikke? $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3*x^3+3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3-3x^3}{\Delta x}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. december 2019 af Bibo53

Nej, du har en lille fejl. De midterste 3-taller skal være 9 i stedet.

Svar #8
18. december 2019 af Repeno

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3}{\Delta x}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x^2+\Delta x^3$ - her er $\Delta x$ i nævneren gået ud med $\Delta x$ i tælleren

Er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. december 2019 af Bibo53

Ikke helt. Jeg får

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=9x^2+9x\Delta x+3(\Delta x)^2$

Husk at der stod 3 uden for parentesen til at starte med, og det skal du gange ind på alle led. Tilsvarende, når du forkorter med $\Delta x$ , skal du gøre det ved alle led.

Svar #10
18. december 2019 af Repeno

Jeg fik det her med maple. Men det er vel ikke rigtigt så?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-12-18 kl. 22.04.50.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
18. december 2019 af Bibo53

Nej, 3-tallerne skal rettes til 9-taller.

$\begin{align} 3(x+\Delta x)^3-3x^3&=3x^3+9x^2\Delta x+9x(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3-3x^3\\ &=9x^2\Delta x+9x(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3\\ &=\Delta x\left(9x^2+9x\Delta x+3(\Delta x)^2\right)\\ \end{align}$

Svar #12
18. december 2019 af Repeno

Okay, så kommer step 3 til at se sådan her ud? $\Delta x(9x^2+3\Delta x^2+9x\Delta x)$

Brugbart svar (0)

Svar #13
18. december 2019 af Bibo53

Ja.

Svar #14
18. december 2019 af Repeno

Okay fedt, hvad er næste step så? Er en smule lost

Brugbart svar (0)

Svar #15
18. december 2019 af Bibo53

$\Delta y=\Delta x\left(9x^2+9x\Delta x+3(\Delta x)^2\right)$ ,

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=9x^2+9x\Delta x+3(\Delta x)^2\rightarrow 9x^2\text{ for }\Delta x\rightarrow 0$ .

Svar #16
18. december 2019 af Repeno

Okay, kan godt se en nogenlunde sammenhæng. Kan du skrive den udregningen fra start til slut, så jeg kan få et overblik over hvordan du gik fra step til step?

Og tusind tak for hjælpen! :)

Brugbart svar (0)

Svar #17
18. december 2019 af Bibo53

Selv tak. Første trin:

$\Delta y=3(x+\Delta x)^3-3x^3$

$=3x^3+9x^2\Delta x+9x(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3-3x^3$

$=9x^2\Delta x+9x(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3$

Andet trin:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=9x^2+9x\Delta x+3(\Delta x)^2$

Tredje trin:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=9x^2+9x\Delta x+3(\Delta x)^2\rightarrow 9x^2\text{ for }\Delta x\rightarrow 0$

Konklusion: $f$ er differentiabel og $f'(x)=9x^2$ .

Svar #18
18. december 2019 af Repeno

Tusind tak - det giver mening! :D

Brugbart svar (1)

Svar #19
19. december 2019 af AMelev

#1
$f'(x)=n*a*x^(n-1)$
Den sidste del ser lidt underlig ud, men kunne ikke lige få den til at gøre, som jeg ville have det. Der står 'x' opløftet i (n-1)

Du skal bruge {} i stedet for () om det, der skal opløftes. $f'(x)=n*a*x^{n-1}$

Skriv et svar til: Betemme differentialkvotienten vha. Tre trins reglen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.