Matematik
Isomorfi mellem grupper (Algebra)
En opgave i faget 'Algebra 1' på KU
Betragt afbildningen f: Z^3 -> Z givet ved f(x, y, z) := 2x + 3y
Vi betragter her Z^3 og Z som abelske grupper med deres sædvanlige addition.
(1) (10 point) Vis, at f er en homomorfi og bestem dens kerne ker f
(2) (10 point) Vis, at ker f er isomorf med Z^2
(1) Virker ligetil:
f((x,y,z)+(x',y',z')) =f(x+x',y+y',z+z')=2(x+x')+3(y+y') = 2x+3y+2x'+3y'=f(x,y,z) + f(x',y',z')
Hvilket viser at f er en homorfi. Dens kerne er givet ved:
Ker f = { (x,y,z) ∈ Z^3 | f(x,y,z) = 2x+3y = 0 }
Ker f er altså en slags flade vi skal vise er isomorf med Z^2 i (2).
Burde være muligt, men jeg er dog løbet tør for ideer. Nogen derude der kan hjælpe? ;-)
Mvh Filip
Svar #1
31. december 2019 af chyvak
Vink: Elementerne i Ker f kan skrives på formen (3n, -2n, z) hvor n ligger i Z. Betragt dernæst g:Ker f -> Z^2 givet ved (3n, -2n, z) |-> (n,z), n i Z. Er g en isomorfi?
Svar #2
31. december 2019 af Dimsum79
Hej og tak for vinket!
For at vise at g er en isomorfi forestiller jeg mig at jeg skal vise at g har egenskaben:
g(a+b)=g(a)+g(b), samt vise at g er 1-1 (injektiv) og 'på' (surjektiv) og dermed en isomorfi
Altså noget i retning af:
g((3n,-2n,z)+(3n',-2n',z')) = g(3(n+n'),-2(n+n'),z+z') = (n+n',z+z') = (n,z) + (n',z') = g(3n,-2n,z) + g(3n',-2n',z')
g er altså en homomorfi i mine øjne.
At g er 1-1 vises(?) således:
g(3n,-2n,z) = g(3n',-2n',z') -> (n,z) = (n',z') -> n = n' og z = z'
Altså ens funktionsværdier føres tilbage til det samme argument.
At g er surjektiv er vel klart nok(?), idet alle punkter i Z^2 kan blive ramt af g
Er det ovenstående til at sige god for?
Jeg takker ihvertfald for imputtet og godt nytår!
Mvh Filip
Skriv et svar til: Isomorfi mellem grupper (Algebra)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.