Matematik

Øvre grænse

10. februar 2020 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan kan man finde den øvre grænse for en logistisk differentialligning (ikke aflæsning)


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. februar 2020 af Soeffi

#0. Opskriv differentialligningen på følgende form (hvis den ikke er det i forvejen):

y' = a·y·(y - b)

Den øvre grænse er lig med b idet y' går mod nul, når y går mod b. Det forudsætter, at man taler om en løsning, der ligger under b fra starten (t = 0).


Brugbart svar (0)

Svar #2
10. februar 2020 af peter lind

Se formel 178 og 179 side 29  i din formelsamling. Når y'(x) bliver 0 vokser(eller aftager) y i mere


Svar #3
10. februar 2020 af Lei20 (Slettet)

Men er der en formel man kan bruge for at bestemme den øvre grænse?


Brugbart svar (0)

Svar #4
10. februar 2020 af peter lind

Det er jo angivet præcis i både #1 og #2


Brugbart svar (0)

Svar #5
10. februar 2020 af AMelev

Du kan jo også benytte dit CAS-værktøj til at bestemme \lim_{x\rightarrow \infty }f(x).


Svar #6
11. februar 2020 af Lei20 (Slettet)

Hvordan#5

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. februar 2020 af AMelev

#6 f(x) := \frac{\frac{a}{b}}{1+c\cdot e^{-b\cdot x}} 

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x) =\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\frac{a}{b}}{1+c\cdot e^{-b\cdot x}} jf #2
Så kan du med dit CAS-værktøj bestemme grænseværdien. Hvordan du konkret gør det, afhænger af, hvilket værktøj, du benytter.

Uden CAS med anvendelseaf regneregler for grænseværdi og kendskab til den naturlige eksponentialfunktion: 
\lim_{x\rightarrow \infty }f(x) = \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\frac{a}{b}}{1+c\cdot e^{-b\cdot x}}= \frac{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{a}{b}}{\lim_{x\rightarrow \infty }(1+c\cdot e^{-b\cdot x})}=
\frac{\frac{a}{b}}{1+c\cdot \lim_{x\rightarrow \infty }e^{-b\cdot x}}= \frac{\frac{a}{b}}{1+c\cdot \lim_{-b\cdot x\rightarrow -\infty }e^{-b\cdot x}}= \frac{\frac{a}{b}}{1+c\cdot 0}=\frac{a}{b}

NB! Formen for den logistiske differentialligning i #0 er ikke korrekt jf FS-anvisningerne i #2.


Skriv et svar til: Øvre grænse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.