Den græske matematiks strukturering ud fra Euklids elementer

#0

Hvad ved og tænker du specifikt på, når du hører om Euklids Elementer og disse værkers betydning for matematik?

Måske er det her spørgsmål endnu bedre for, at du kan se, hvor jeg vil hjælpe dig hen:
Hvad kendetegner Euklids fremgangsmåde og bevisførelse i hans værk(er)?

Okay, mange tak. 

#2

Det var skam så lidt. - Har du flere spørgsmål, overvejelser m.m., skal du være velkommen til at henvende dig igen (det glemte jeg at skrive i #1). :-)

Er det forkert, hvis jeg har skrevet, hvordan Euklid formulerer sig i sine værker? 

Altså:

Han fremsætter en påstand eller stilles opgave generelt formuleret. 

Isecensætter et eksempel. 

Præciser eller afgrænser den stillede opgave. 

Bevis for at opgaven er løst eller påstanden er bevist. 

Samfatning. 

Jeg håber virkelig, du kan hjælpe mig - Undskyld for mine direkte spørgsmål, jeg har bare brug for hjælp nu. 

.

#3 

Jeg har skrevet et spørgsmål til dig :-). Skal bruge det til SRP. 

#4

Det gør ikke noget, at spørgsmål er direkte. 
Nu ved jeg ikke specifikt, hvilken del af Euklids Elementer, du fifler med. Dine generelle iagttagelser ser dog fine ud. Euklid benytter sig nemlig af en såkaldt aksiomatisk deduktiv tilgang.
Husk, titlen Elementer betyder ikke, at det omtale er "elementært"; snarere er det bygget op af en masse mindre dele, altså elementerne. 
Altså begynder man med nogle helt grundlæggende egenskaber, for derefter at bygge videre
på dem med brug af det foregående.
 

#7 

Tusind tak for svar, det sætter jeg virkelig pris på. Nu stillet jeg et klodset spørgsmål igen: 

Er der noget af denne opbygning som Archimedes tager med sig, når han finder en værdi for pi? 

Det er helt i orden, hvis du ikke har kendskab til dette. 

#7

Lad mig lige begynde med at understrege, at der ikke findes klodsede spørgsmål; der findes dårligt formulerede spørgsmål (og svar).

Ang. dit spørgsmål:
Jeg har ikke beskæftet mig med andet end Archimedes' lov, den såkaldte talje, Archimedes' snegl og skrue.
Men jeg kan se ud fra en kort gennemgang af forskelligt materiale, at han benytter sig afen tilnærmelse af cirklen med ind- og omskrevne regulære polygoner. - Han benytter den såkaldte exhautionsmetode (udviklet af en anden kendt, græsk matematiker Eudoxos) - faktisk en "primitiv" form for integralregning. Metoden går ud på, at der gradvis altså udfyldes og omsluttes noget, fx en cirkel med en succesion af polygoner (og disse arealer bestemmes vha. vedkendte metoder).
Den af Archimedes' og Eudoxos' anvendte metode bliver behandlet af mange andre matematikere i flere sammenhænge (tidsskrifter, afhandlinger m.m.) og er et studium i sig selv værdigt.

Nu kommer vi altså til den "svære" del, hvor jeg gerne vil have dig til at reflektere lidt over, hvad jeg har skrevet til dig:
Ud fra det, jeg lige har skrevet og din viden om matematisk ( = naturvidenskabelig) metode, hvilken del af opbygningen fra Elementerne ville du så sige, han benytter sig af?

 

Aksiomatisk deduktiv tilgang vel? Eller så har jeg misforstået noget. 

#10

Det er såmænd også rigtigt; man kan bare uddybe forklaringen lidt, hvilket din underviser og censor jo gerne vil have. Det viser jo forståelse, overskud og dybde for dit emne.
Lad mig forklare, hvad jeg mente med "den 'svære' del":
De gamle grækere benyttede sig af en aksiomatisk deduktiv tilgang til tingene i meget af deres bevisførelse og undgik for alt i verden uendeligt vilkårligt små størrelser, men det er faktisk ikke helt tilfældet, selvom det kan være svært at trække en definitiv streg i sandet. Nogle forskere mener, at Eudoxos (og også Archimedes) angav exhaustionsmetoden som et aksiom, hvorfor denne ikke behøvede noget bevis. 
Sammenfattet kan man altså sige, at Archimedes benyttede sig af et aksiomatisk deduktivt grundlag for at kunne benytte sig af exhautionsmetoden.
Ser vi på konstanten π, er denne jo defineret ved at være forholdet mellem en cirkels omkreds og dennes diamater ( = aksiomatisk grundlag). For at bevise at dette faktisk forholdt sig således, benyttede Archimedes exhautionsmetoden (= 'udtømmemetoden', dvs. han fortsatte utroligt mange gange, indtil han med rimelighed kunne antage, at det faktiske forhold også måtte forholde sig sådan; deraf den "primitve" form for infinitesmalesregning, faktisk integralregning mere specifikt). 

Læs f.eks. denne udmærkede rapport om "Uendelighed og 'integration' i antikken": https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/57740369/antikken.pdf.
 

Tusind tak for hjælpen! 

Hej Germanofil, jeg har lige et sidste spørgsmål, som jeg mangler at svare på: 

"Vurder om Archimedes bruger Euklid i sin bestemmelse af pi"

Det er det sidste spørgsmål, jeg mangler og har brug flere timer på at få svar. Jeg håber du kan hjælpe mig. :-)