Matematik

Bevis, at en potensrække er en løsning til en differentialligning

05. maj 2020 af Mathias7878 - Niveau: Universitet/Videregående

Betragt funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ af potensrækken defineret som

$f(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{-n}x^{2n+1}}{n!}, \ x \in \mathbb{R}$

Spørgsmålet er så at jeg skal bevise, at potensrækken f(x) er en løsning til differentialligningen

$-f''(x)+x^2f(x) = 3f(x)$

for alle $x \in \mathbb{R}$

Desværre er det sådan, at vi i Analyse 1 og 2 på Århus Universitet ikke rigtigt har lært, og heller ikke i gymnasiet, at regne med summer, f.eks. hvad der sker, når man skifter indekser osv. Derfor har jeg lidt svært ved at vise, at potensrækken er en løsning til differentialligningen, fordi jeg simpelthen ikke kan finde ud af at manipulere med summerne. Kan nogle af jer evt. hjælpe mig? Gerne med forklaringer til de forskellige steps. Jeg kan i hvert fald starte ud med at beregne venstre side og har, at

$\begin{align*} -f''(x) + x^2f(x) & = - \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n^2+2n)(-1)^n2^{-n}x^{2n-1}}{n!} \right) + x^2 \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{-n}x^{2n+1}}{n!} \right) \\ & = \end{align*}$

Jeg tænker meningen er nu, at man skal samle summerne, men det tror jeg ikke man kan, når eksponenterne for x er forskellige. Hvad gør jeg nu, og hvordan?

På forhånd tak for hjælpen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. maj 2020 af Soeffi

#0. Du kan evt. bruge omskrivningen:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{-n}x^{2n+1}}{n!}=x\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}=x\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$

$\left ( x\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\right )''=x\cdot (x^2-3)\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$

Svar #2
05. maj 2020 af Mathias7878

Jeg fik hjælp på Stack Exchange og efter en masse udregninger, fik jeg endelig det rigtige resultat, men tak for hjælpen ellers :)

- - -

Svar #3
05. maj 2020 af Mathias7878

Men kan godt se, at det er smart at bruge Taylorrækken for eksponentielfunktion. Det havde nok gjort det meget nemmere.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. maj 2020 af Soeffi

#1. Lad os sige, at vi bruger:

$f(x)=x\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}$

Dermed har vi:

${\color{Blue} f'(x)}=x'\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}+x\cdot \left ( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!} \right )'=$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}+x\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{n\cdot (-x)\cdot (-\frac{x^2}{2})^{n-1}}{n!} =$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}-x^2\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{n\cdot (-\frac{x^2}{2})^{n-1}}{n!} =$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}-x^2\cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n-1}}{(n-1)!} =$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!}-x^2\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!} =$

$(1-x^2)\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{x^2}{2})^{n}}{n!} ={\color{Blue}(\frac{1}{x}-x)\cdot f(x)}$

Det giver:

${\color{Red} f''(x)}=\left ((\frac{1}{x}-x)\cdot f(x) \right )'=$

$(\frac{1}{x}-x)'\cdot f(x)+(\frac{1}{x}-x)\cdot f'(x)=$

$(\frac{-1}{x^2}-1)\cdot f(x)+(\frac{1}{x}-x)\cdot (\frac{1}{x}-x)\cdot f(x)=$

$\left ( (\frac{-1}{x^2}-1)+(\frac{1}{x}-x)^2 \right )\cdot f(x)=$

$\left ( \frac{-1}{x^2}-1+\frac{1}{x^2}-2+x^2 \right )\cdot f(x)=$

${\color{Red} \left ( x^2-3 \right )\cdot f(x)}$

...som tilsammen giver:

$-f''(x)+x^2\cdot f(x) =-\left ( x^2-3 \right )\cdot f(x)+x^2\cdot f(x)=3\cdot f(x)$

...hvilket ses at stemme med det krævede.

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. maj 2020 af Soeffi

#3...smart at bruge Taylorrækken...

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1925178, det er noget af det samme bare for cos(x) i stedet for exp(x).

Skriv et svar til: Bevis, at en potensrække er en løsning til en differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.