Matematik

Arealet af vejbanen

07. maj 2020 af DeepOcean - Niveau: A-niveau

Hej ..

Jeg sidder med følgende opgave :

En 8 meter bred vejbane følger en parabel symmetrisk om toppunktet med forskriften f(x) = −10^−3 x^2 (vejens centerlinje). Kurven er 400 meter lang.

a) Bestem arealet af vejbanen.

5 meter lodret fra parablens toppunkt står en bænk på en rasteplads.

b) Hvilke tangenter på parablen går igennem dette punkt?

vedhæftes lille figur.

Har prøvet a) med at finde forskrift for kanten af vejbanen og brugt integral for at beregn areal men jeg får ikke rigtigt svar : er der nogle de har god ide?

Tak på forhånden

Vedhæftet fil: vejbanen.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. maj 2020 af PeterValberg

Indsætter lige billedet, det hjælper på forståelse af spørgsmålet:

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. maj 2020 af SF2020 (Slettet)

Der findes en integralformel der beregner længden af en kurve. Den har I måske haft? Hvis du bruger den til at beregne længden af den stiplede linje kan du bare gange med bredden.

Brugbart svar (1)

Svar #3
07. maj 2020 af SF2020 (Slettet)

Det er vidst nok

$\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^^2} \cdot dx$

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. maj 2020 af SF2020 (Slettet)

Fandt lige ud af, at kurvelængden er givet jo, den er 400 m. Så må det være 400 m gange de 8m, som er 3200 m^2

Svar #5
07. maj 2020 af DeepOcean

Tak for det . nu er opgave a) på plads

Hvad med opgave b) har i også en ide ?

Brugbart svar (1)

Svar #6
07. maj 2020 af SF2020 (Slettet)

Parablens funktionsforskrift er

$f(x)=-0,003\cdot x^2$

Så er toppunktet jo (0,0) og du skal finde de tangenter der går igennem punkt (0,5)

for tangenterne gælder

$y=a\cdot x+b$

og b må så være 5 (skæringspunkt med y-aksen).

så der gælder

$y=a\cdot x+5$

og a er jo lige med f '(x)

$f'(x)=-0,006\cdot x$

Hvis tangenten er i punkt

$(x_1,y_1)$

Så gælder jo

$y_1=-0,006\cdot x_1\cdot x_1+5$

$y_1=-0,003\cdot x_1^2$

så

$-0,006\cdot x_1^2+5=-0,003\cdot x_1^2$

$x_1=+-40,82$

Så dermed er hældingen af tangenten

$f'(x)=-0,006\cdot 40,82=+-0,245$

og tangenterne er

$y=0,245\cdot x +5$

$y=-0,245\cdot x +5$

Svar #7
08. maj 2020 af DeepOcean

Tak for det ,,så fik jeg løst opgaven.

Skriv et svar til: Arealet af vejbanen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.