Matematik

Løs ved beregning uligheden f' (x) >=0

11. maj 2020 af petbau - Niveau: B-niveau

Jeg sidder med nedenstående opgave og har problemer med at løse uligheden: e3x(3x-2)>=0

En funktion f er givet ved: f(x) =e3x * (x-1) . Løs ved beregning uligheden f ' (x) >=0

Ved første øjekast ligner f(x) en funktion, som blot består af to led, hvorfor jeg kan bruge reglen: (f * g)'(x)=        f '(x)*g(x)+ f(x) * g '(x), men det først led, e3x, består desuden af en indre og ydre funktion, altså en sammensat funktion.

Først differentieres e3x , (jeg kalder den indre g og ydre f): indre: g(x)= 3x = y, g' (x) = 3

f(y) = ey , f ' (y) = ey = e3x

Differentiering af den sammensatte funktion:

h' (x) = f' (y)* g' (x) 

h' (x) = e3x*3

h' (x) = 3e3x

Differentiering af f(x):

f '(x) = (e3x * (x-1))' =   f '(x)*g(x)+ f(x) * g '(x) = 3e3x *(x-1)+e3x*1 = 3xe3x-3e3x+e3x = 3xe3x-2e3x = e3x(3x-2)

f' (x) >=0

e3x(3x-2) >=0

Nu har jeg problemer, da jeg ikke uden videre kan isolere x.

(min lommeregner giver resultatet x>=2/3), men jeg vil gerne selv kunne løse uligheden. Jeg mener ikke at jeg uden videre blot kan gnge eller dividere med en ubekendt for at isolere x, da jeg ikke ved om den er positiv eller negativ. 

På forhånd tak for din/jeres hjælp.

Vh

Peter


Brugbart svar (0)

Svar #1
11. maj 2020 af swpply (Slettet)

Du har at

                            \begin{align*} f(x) = e^{3x}(3x-2) \quad\Rightarrow\quad f^\prime(x) &= 3e^{3x}(3x-2) + 3e^{3x} \\ &= e^{3x}(9x-3) \end{align*}

hvorfor at

                                               \begin{align*} f^\prime(x)>0 \quad&\Leftrightarrow\quad e^{3x}(9x-3) > 0 \\ &\Leftrightarrow\quad 9x-3 > 0 \\ &\Leftrightarrow\quad x > \frac{1}{3} \end{align*}

Husk at e^{3x}>0 for samtlige x\in\mathbb{R}, hvorfor at anden biimplikation i ovenstående er gyldig.


Brugbart svar (1)

Svar #2
11. maj 2020 af AMelev

#0
e3x(3x-2) >=0

Du er næsten i mål.
Du skal udnytte, at eksponentialfunktioner er positive, så 3x - 2 må ikke være negativ, da produktet i så fald ville være negativt.


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. maj 2020 af swpply (Slettet)

#2
#0
e3x(3x-2) >=0

Du er næsten i mål.
Du skal udnytte, at eksponentialfunktioner er positive, så 3x - 2 må ikke være negativ, da produktet i så fald ville være negativt.

Det skal også bemærkes at udtrykket for den afledte funktion ikke er korrekt.


Brugbart svar (1)

Svar #4
11. maj 2020 af AMelev

Der er et par formuleringsfejl 

#0
Ved første øjekast ligner f(x) en funktion, som blot består af to led, hvorfor jeg kan bruge reglen: (f * g)'(x)=        f '(x)*g(x)+ f(x) * g '(x)....
f '(x) = (e3x * (x-1))' =   f '(x)*g(x)+ f(x) * g '(x) = 3e3x *(x-1)+e3x*1 = 3xe3x-3e3x+e3x = 3xe3x-2e3x = e3x(3x-2)

Led er tal på begge sider af +/-. f er et produkt af to faktorer.

Det er misvisende, idet du operer med to forskelllige f 'er (e3x * (x-1) og e3x). Drop det her, du har jo skrevet formlen ovenover.  Der kunne du evt. i stedet bare skrive, at du bruger produktreglen.

Ved betemmelse af f '(x) kan du evt. bruge produktreglen "den ene differentieret gange den anden plus omvendt" direkte f '(x) = (e3x * (x-1))' = (e3x)' * (x-1) + e3x * (x-1)' = ....


Brugbart svar (0)

Svar #5
11. maj 2020 af AMelev

#3 Hvad mener du? 
f(x) =e3x * (x-1), så er f '(x) vel god nok?


Svar #6
11. maj 2020 af petbau

Hej

Tak for jeres svar. Jeg har lært, at jeg skal tænke, at eksponentialfunktioner er positive, hvorfor jeg kan skrive:

3x-2>=0

x>=2/3

swpply skriver, at udtrykket for den afledte ikke er korrekt.

Det tror jeg nu det er , (Jeg har tjekket med min TI-89 :-).

Jeg skal differentiere: f(x)=e3x *(x-1)

f ' (x) =(e3x *(x-1))' = e3x (3x-2)  

udtrykket e3x (3x-2) skal være >= 0

altså: f' (x) >=0

Kæden hopper af for mig, når jeg skal løse uligheden. 


Svar #7
11. maj 2020 af petbau

Ja, jeg mener, at f'(x) er god nok


Brugbart svar (0)

Svar #8
11. maj 2020 af swpply (Slettet)

#5

#3 Hvad mener du? 
f(x) =e3x * (x-1), så er f '(x) vel god nok?

Ja, det var vist en smutter. Jeg syntes at havde læst at f(x) = e3x(3-2) og ikke f(x) = e3x(x-1). Hvorfor at den aflede rigtigt nok er givet som f'(x) = e3x(3x-2).

–– petbau, du må undskylde hvis dette har givet anledning til evt. forvirring.


Brugbart svar (0)

Svar #9
11. maj 2020 af swpply (Slettet)

#6

[...] Jeg har lært, at jeg skal tænke, at eksponentialfunktioner er positive

Lige præcist, det er dette som er hele tricket.

#6
Kæden hopper af for mig, når jeg skal løse uligheden. 

Uligheden \begin{align*}f^\prime(x)>0 \end{align*} betyder at \begin{align*}f^\prime(x) \end{align*} er positiv (for det respektive x). Husk nu at der generalt gælder at ét produkt (her produktet imellem de to funktioner e3x og 2x-3) netop er positivt såfremt at hver af faktoerne er postive. Altså har du at e3x(3x-2) > 0 netop når både e3x > 0 og 3x-2 > 0. Men da e3x altid er positiv for samtlige x på den reelle tallinje har du at det er tilstrækkeligt blot at løse den sidste af ulighederne, dvs. 3x-2 > 0.


Svar #10
11. maj 2020 af petbau

Hej swpply

Jeg er taknemmelig for, at du / I gider hjælpe mig. Jeg lærer lidt hver dag. Svar # 6 er en kæmpehjælp, jeg begynder at forstå.


Brugbart svar (0)

Svar #11
11. maj 2020 af AMelev

Ad #9 Bem. Produktet er også positivt, når begge faktorer er negative, men det er jo ikke i spil her.


Skriv et svar til: Løs ved beregning uligheden f' (x) >=0

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.