Matematik

vise ligning for tangent, hjælp

17. maj 2020 af SilkeBolander - Niveau: A-niveau

punktet P(x0,y0) er et vilkårligt punkt på cirkelperiferien

jeg skal vise at ligningen for tangenten i P er x0 * x + y0 * y = 25

jeg har en aflevering til den 22. maj, og jeg aner ikke hvordan jeg skal bevise et der. på forhand tak :)

Vedhæftet fil: VIDEOAFLEVERING 1t maj 2020.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. maj 2020 af jamenhalløjsa

Udfra ligningen i a, ved du at cirklens centrum ligger i punktet (0,0). Ligningen har en normalvektor fra centrum til punktet P, som er givet ved: n=(x0, y0)

Ved brug af cirklens ligning kan man ved brug af normalvektorens koordinater og punktet P's koordinater, opskrive den ved:

x0*(x-x0)+y0*(y-y0)=0

Dette kan omskrives:

x0x-x0^2+y0y-y0^2=0

x0x+y0y-x0^2-y0^2=0

x0x+y0y=x0^2+y0^2

Fra din viden i opgave a) ved du, at x0^2+y0^2=25, og derfor kan du sætte 25 ind på højre side af lighedstegnet, så der kommer til at stå:

x0x+y0y=25

Håber det giver mening det jeg har skrevet:)

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. maj 2020 af peter lind

Du kan bruge at CP er normalvektor til tangenten

eller

brug formel 130 side 24 i din formelsamling

Svar #3
17. maj 2020 af SilkeBolander

jeg tror at jeg forstår det, men hvordan ved jeg at cirklens centrum ligger i (0,0)?

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. maj 2020 af jamenhalløjsa

#3
jeg tror at jeg forstår det, men hvordan ved jeg at cirklens centrum ligger i (0,0)?

Det ved du udfra ligningen i a, som er x0^2+y0^2 =25, for normalt ville denne formel være:

(x0-x)^2+(y0-y)^2=25

Hvis man så sætter 0 ind på y's og y's plads (som angiver centrummets koordinater) så får man:

(x0-0)^2+(y0-0)^2=25

(x0)^2+(y0)^2=25

x0^2+y0^2=25

:))

Svar #5
17. maj 2020 af SilkeBolander

ahhhh selfølgelig, det giver god mening tak!!:)

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. maj 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{cirkelligning:}&x^2+y^2=r^2\\\\ \textup{en parameterfremstilling er:}&\overrightarrow{s}(t)=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(t)\\ r\cdot \sin(t) \end{pmatrix}\\\\ \textup{En retningsvektor er:}&\overrightarrow{s}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\ r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y\\ x \end{pmatrix}\\\\ \textup{En normalvektor i } P(x_o,y_o) \textup{ er:}&-\widehat{\overrightarrow{s}{\, }'(t)}=\begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}\\\\ \textup{Tangentvektorligning i }P(x_o,y_o)\textup{:}&\begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\ y-y_o \end{pmatrix}=0\\\\ &x_ox+{x_o}^2+y_oy-{y_o}^2=0\\\\ &x_ox+y_oy={x_o}^2+{y_o}^2\qquad \textup{da }P\textup{ er et punkt p\aa \ cirklen}\\\\\\ &x_ox+y_oy=r^2 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. maj 2020 af mathon

eller

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll} \textup{cirkelligning:}&x^2+y^2=r^2\\\\ \textup{differentiation mht x:}&2x+2y\cdot y{\,}'=0\\\\&x+y\cdot y{\,}'=0\\\\& y{\,}'=-\frac{x}{y}\\\\ \textup{tangentligning}\\ \textup{for et punkt }(x_o,y_o)&y=-\frac{x_o}{y_o}\cdot (x-x_o)+y_o\\\\&y_oy=-x_o\cdot (x-x_o)+{y_o}^2\\\\& y_oy=-x_ox+{x_o}^2+{y_o}^2\\\\& x_ox+y_oy=\underset{r^2}{\underbrace{{x_o}^2+{y_o}^2}}\\\\& x_ox+y_oy=r^2 \end{array}$

Skriv et svar til: vise ligning for tangent, hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.