Matematik

Gør rede for om Fourierrækken konvergerer punktvist og eller uniformt

24. maj 2020 af Mathias7878 - Niveau: Universitet/Videregående

Betragt funktionen $\small f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ i $\small C_{st}$ der opfylder, at $\small f(x) = 6x+2$ når $\small -\pi < x < \pi$ . Jeg skal da gøre rede for, hvorvidt Fourierrækken for f konvergerer punktvist eller uniformt på den reelle akse.

Da $\small C_{st}$ umiddelbart ikke er standard notation, vil jeg lige definere, hvad vi mener:

Lad $\small C_{st}$ betegne mængden af de funktioner $\small f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ der opfylder, at

1. f er periodisk med periode $\small 2\pi$

2. f er stykkevist kontinuert på intervallet $\small [-\pi, \pi]$

3. f er normaliseret i sine diskontinuitetspunkter

Ligeledes

Lad $\small C^1_{st}$ betegne mængden af de funktioner $\small f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ der opfylder, at

1. f er periodisk med periode $\small 2\pi$

2. f er stykkevist differentiabel på intervallet $\small [-\pi,\pi]$

3. f er normaliseret i sine diskontinuitetspunkter

Da siger sætninger i min bog, at:

Hovedsætning 1. Fourierrækken for en funktion $\small f \in C_1^{st}$ konvergerer punktvist mod f overalt på den reelle akse.

Hovedsætning 2. Hvis $\small f \in C_1{st}$ og tillige er konitnuert på den reelle akse, så konvergerer Fourierrækken for f univormt på R mod f.

Jeg har i en tidligere opgave vist, at f(x) er en sammensætning af kontinuerte funktioner, hvormed f specielt selv er en kontinuert funktion, hvormed vi kan regne

$\small \lim_{x \rightarrow \pi^-} 6x+2 = 6\pi + 1$

$\small \lim_{x \rightarrow -\pi^+} 6x+2 = -6\pi + 1$

hvilket specielt vil sige, at f er kontinuert i $\small \pm \pi$ og antager værdierne $\small f(\pi) = 6\pi + 1$ og $\small f(-\pi) = -6\pi + 1$ . Nu er det her, jeg føler, at det går galt, da jeg har fået at vide, at f kun er 2 pi periodisk såfremt, at

$\small f(\pi) = f(-\pi)$

hvilket jo netop ikke er tilfældet i mit tilfælde. Men hvordan kan f så ligge i $\small C_{st}$ , når dette jo netop er et krav? Og vil det ikke blot sige, at Fourierrækken for f ikke konvergerer punktvist eller uniformt? Eller er der noget, jeg misforstår?

Kan I hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. maj 2020 af chyvak

Det eneste du overser er formodentligt at f er defineret på et åbent interval -L < x < L. Det giver derfor ikke mening at tale om f(L). Så perioditetskravet således som du har opskrevet det er ikke gyldigt.

En passent kan nævnes at hvis rækken er konvergent vil den i multipla af L konvergere mod (f(L+) + f(L-))/2, men det ved du sikkert allerede.

Svar #2
24. maj 2020 af Mathias7878

Tak for hjælpen. Men jeg bliver faktisk bedt om i første opgave, at gøre rede for hvilke værdier f(x) antager i $\pm \pi$ . Betyder det så ikke, at jeg skal finde grænsen, som jeg gør, og da grænserne eksisterer gælder, at f(x) er kontinuert i $\pm \pi$ og således antager værdierne $f(-\pi) = -6\pi + 1$ og $f(\pi) = 6\pi + 1$ ?

Med hensyn til mit oprindelige spørgsmål: Konvergerer Fourierrækken for f punktvist og eller uniformt på R, skal jeg så bare argumentere for, hvorvidt de overholder betingelserne i hovedsætningerne?

Det eneste, jeg egentlig ikke forstår er, om hvorvidt f(x) er 2 pi periodisk? Der skal vel gælde, at

$f(x + 2\pi) = 6(x+2\pi) +1 \neq f(x)$

hvilket jo ikke er gældende. Betyder det så, at Fourierrækken ikke konvergerer punktvist eller uniformt på R?

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. maj 2020 af chyvak

Det er kun på intervallet ]-pi,pi[ at f(x) = 6x + 2. Forskriften er anderles i andre peridicitetsintervaller. Tag for eksempel intervallet ]pi, 3pi[. Vi definerer at for x i ]pi,3pi[ er f(x) = f(x-2pi) for x i ]-pi, pi[, eller at f(x) = 6x + 2(1-6pi) for x i ]pi, 3pi[. Og så fremdeles.

Svar #4
24. maj 2020 af Mathias7878

Det giver god mening. Tak :)

Men kan jeg så godt sige, fordi f ligger i $\small C_{st}$ , så er f periodisk med periode $\small 2\pi$ og ligeledes normaliseret i sine diskontinuitetspunkter og da f er en sammensætning af velkendte differentiable funktioner på R, så er f selv differentiabel på R og dermed også differentiabel i intervallet $\small [-\pi,\pi]$ . Dvs. det følger af hovedsætning 1, at $\small f \in C^1_{st}$ hvormed Fourierrækken for f konvergerer punktvist mod f på R.

Ligeledes, da $\small f \in C^1_{st}$ og da f(x) er en sammensætning af velkendte kontinuerte funktioner, så er f selv en kontinuert funktion på R og dermed også på intervallet $\small [-\pi,\pi]$ . Det følger således af den anden hovedsætning, at Fourierrækken for f konvergerer uniformt på R.

Er dette korrekt beskrevet/forstået?

Tak for hjælpen ellers.

- - -

Skriv et svar til: Gør rede for om Fourierrækken konvergerer punktvist og eller uniformt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.