Matematik

Polynomier og rødder

26. september kl. 12:19 af bdr - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg er i tvivl om hvordan jeg løser følgende opgaver i hånden:

Givet p(z)=z^4+16z^3+69z^2+16z+68

Herved skal jeg vise at er rod i p(z) og bestemme samtlige rødder i p(z)

Det der forvirrer mig er, at der nu er tale om flere grader.

Tak på forhånd


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september kl. 12:33 af Anders521

#0 Bestem P( i ) således at  p( i )= 0. Til at bestemme samtlige rødder kan du bruge polynomiers division, da du kender en af rødderne.


Svar #2
26. september kl. 12:35 af bdr

Så jeg skal løse ligningen med hensyn til i, efter at have sat polynomiet lig 0?


Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september kl. 12:37 af Eksperimentalfysikeren

Når du ved, at i errod i P, kan du hurtigt finde en rod mere, fordi koefficienterne er reelle. Så har du to rødder.

Du kan så faktorisere P til to 1.grads polynomier og et andengradspolynomium. Brug så nulreglen.


Brugbart svar (0)

Svar #4
26. september kl. 12:37 af Eksperimentalfysikeren

#2 Du skal indsæte z=i og regne P(i) ud. Det skulle gerne blive 0.


Svar #5
26. september kl. 12:39 af bdr

#4
Her skal jeg vel også anvende regnereglen i^2=-1 ?


Brugbart svar (0)

Svar #6
26. september kl. 12:42 af Eksperimentalfysikeren

Korrekt.


Svar #7
26. september kl. 12:42 af bdr

I skal alle have mange tak for hjælpen! 


Brugbart svar (0)

Svar #8
26. september kl. 16:02 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{Ved inds\ae ttelse}&\textup{ses, at }-\textbf{\textit{i}}\textup{ ogs\aa \ er en rod}\\\\ \textup{hvoraf:}& P(z)=(z-i)(z+i)\cdot Q(x)=(z^2+1)\cdot Q(x)\\\\ \textup{og dermed:}&Q(x)=P(z):(z^2+1)\\\\& \underline{z^2+1}|\; \; z^4+16z^3+69z^2+16z+68\; \; |\underline{z^2+16z+68}\\& \qquad \; \, -\underline{(z^4+z^2)}\\& \qquad \; \; \; \; \, \, 16z^3+68z^2+16z+68\\& \qquad \, \, -\underline{(16z^3+16z)}\\& \qquad\; \; \; \; \; 68x^2+68\\& \qquad\, \, -\underline{(68x^2+68)}\\& \qquad \qquad \qquad 0\\\\ \textup{hvoraf:}&P(z)=(z-\textbf{\textit{i}})(z+\textbf{\textit{i}})(z^2+16z+68)\\\\ \textup{Nulpunkter}&\textup{for }\; z^2+16z+68\\\\& z=\frac{-16\mp\sqrt{16^2-4\cdot 1\cdot 68}}{2\cdot 1}=\frac{-16\mp\sqrt{(-1)\cdot 4^2}}{2}=\frac{-16\mp\textbf{\textit{i}}\cdot 4}{2}\\\\& z=\left\{\begin{matrix} -8-\textbf{\textit{i}}\cdot 2\\ -8+\textbf{\textit{i}}\cdot 2\end{matrix}\right. \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #9
26. september kl. 16:08 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{Nulpunkter}&\textup{for }\; P(z)\\\textup{er:}\\& z=\left\{\begin{matrix} -\textbf{\textit{i}}\\ \textbf{\textit{i}} \\-8-\textbf{\textit{i}}\cdot 2 \\ -8+\textbf{\textit{i}}\cdot 2 \end{matrix}\right. \end{array}


Skriv et svar til: Polynomier og rødder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.