Matematik

Polynomier og rødder

26. september 2020 af bdr - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg er i tvivl om hvordan jeg løser følgende opgaver i hånden:

Givet $p(z)=z^4+16z^3+69z^2+16z+68$

Herved skal jeg vise at i er rod i $p(z)$ og bestemme samtlige rødder i $p(z)$

Det der forvirrer mig er, at der nu er tale om flere grader.

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2020 af Anders521

#0 Bestem P( i ) således at p( i )= 0. Til at bestemme samtlige rødder kan du bruge polynomiers division, da du kender en af rødderne.

Svar #2
26. september 2020 af bdr

Så jeg skal løse ligningen med hensyn til i, efter at have sat polynomiet lig 0?

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2020 af Eksperimentalfysikeren

Når du ved, at i errod i P, kan du hurtigt finde en rod mere, fordi koefficienterne er reelle. Så har du to rødder.

Du kan så faktorisere P til to 1.grads polynomier og et andengradspolynomium. Brug så nulreglen.

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. september 2020 af Eksperimentalfysikeren

#2 Du skal indsæte z=i og regne P(i) ud. Det skulle gerne blive 0.

Svar #5
26. september 2020 af bdr

#4
Her skal jeg vel også anvende regnereglen $i^2=-1$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. september 2020 af Eksperimentalfysikeren

Korrekt.

Svar #7
26. september 2020 af bdr

I skal alle have mange tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. september 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{Ved inds\ae ttelse}&\textup{ses, at }-\textbf{\textit{i}}\textup{ ogs\aa \ er en rod}\\\\ \textup{hvoraf:}& P(z)=(z-i)(z+i)\cdot Q(x)=(z^2+1)\cdot Q(x)\\\\ \textup{og dermed:}&Q(x)=P(z):(z^2+1)\\\\& \underline{z^2+1}|\; \; z^4+16z^3+69z^2+16z+68\; \; |\underline{z^2+16z+68}\\& \qquad \; \, -\underline{(z^4+z^2)}\\& \qquad \; \; \; \; \, \, 16z^3+68z^2+16z+68\\& \qquad \, \, -\underline{(16z^3+16z)}\\& \qquad\; \; \; \; \; 68x^2+68\\& \qquad\, \, -\underline{(68x^2+68)}\\& \qquad \qquad \qquad 0\\\\ \textup{hvoraf:}&P(z)=(z-\textbf{\textit{i}})(z+\textbf{\textit{i}})(z^2+16z+68)\\\\ \textup{Nulpunkter}&\textup{for }\; z^2+16z+68\\\\& z=\frac{-16\mp\sqrt{16^2-4\cdot 1\cdot 68}}{2\cdot 1}=\frac{-16\mp\sqrt{(-1)\cdot 4^2}}{2}=\frac{-16\mp\textbf{\textit{i}}\cdot 4}{2}\\\\& z=\left\{\begin{matrix} -8-\textbf{\textit{i}}\cdot 2\\ -8+\textbf{\textit{i}}\cdot 2\end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. september 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{Nulpunkter}&\textup{for }\; P(z)\\\textup{er:}\\& z=\left\{\begin{matrix} -\textbf{\textit{i}}\\ \textbf{\textit{i}} \\-8-\textbf{\textit{i}}\cdot 2 \\ -8+\textbf{\textit{i}}\cdot 2 \end{matrix}\right. \end{array}$

Skriv et svar til: Polynomier og rødder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.