Matematik

Største og mindste værdi i D

02. november 2020 af Cudex - Niveau: Universitet/Videregående

Vi lader D betegne den halve enhedscirkelskive
D={(x,y)∈R2 | x^2 +y^2 ≤1,x≥0} og betragter funktionen f : D -→ R givet ved
f = (x, y) -> 2xy - 2x^2;

Giv en begrundelse for, at f har en størsteværdi og en mindsteværdi i D. Bestem disse værdier og angiv, i hvilke punkter af D disse værdier antages.

Jeg ved ikke hvordan denne skal løses, en venlig sjæl som kan hjælpe?


Svar #3
02. november 2020 af Cudex

den skal løses uden nogen elektroniske midler, så jeg må ikke benytte mig af wolfram


Brugbart svar (0)

Svar #4
02. november 2020 af Mathias7878

Da D er lukket og begrænset antager f sin mindste og største værdi i D. 

- - -

 

 


Brugbart svar (0)

Svar #5
02. november 2020 af Jeppe101


Svar #6
02. november 2020 af Cudex

,#5 jeg har kigget på denne tråd og den giver ikke en forklaring eller løsning.


Svar #7
02. november 2020 af Cudex

jeg ved det noget med at finde gradienten andet ved jeg ikke.


Brugbart svar (0)

Svar #8
02. november 2020 af janhaa


Brugbart svar (0)

Svar #9
07. november 2020 af Anders521

#7 Du har skrevet funktionen forkert op, hvis man læser denne tråd. Funktionen hedder altså 

                                                                                f(x,y) = 2xy2 - 2x2.

For at løse opgaven må vi bruge flg. sætning:

(Ekstremværdisætningen) Lad M ⊂ R2 være en kompakt mængde, og lad f: M → R være en kontinuert funktion af to variable, som er defineret på M. Da har f en global størsteværdi og en global mindsteværdi på M. 

Ifølge opgaven har vi mængden D = {(x,y) | x+ y2 ≤ 1, x ≥ 0}. Det er klart at D ⊂ R2, men er den kompakt? At være kompakt vil sige, at den er lukket og begrænset.                                                                                          0) Det er klart, at f er kontinuert mht. variable x og y.                                                                                         1) Vi ved, at randen til D er mængden ∂D = {(x,y) | x2 + y2 = 1, x = 0 } er inkluderet i D, eller rettere, den indeholder alle sine randpunkter og er derfor lukket.                                                                                     2) Mængden D har indeholder punkter, hvis afstand til Origo er højst 1. Vælges en kugle B(0, r), hvor r >1, vil kuglen omslutte hele D, altså er D begrænset.

Af 0)1) og 2) medfører det, at (del)mængden D er kompakt.

Vi kan nu bestemme funktionen f's største- og mindsteværdi på D. Her skal følgende sætning bruges:         

("Lagrange"-sætningen)Lad K ⊆ R2 være en åben, ikke-tom mængde, og lad f,g: K → R være C2-funktioner på K. Hvis punktet (x,y) er et betinget ekstremumspunkt for f = f(x,y) under bibetingelsen g(x,y) = c, hvor den variable y = y(x) er givet implicit som funktion af x, gælder det for Lagrangefunktionen L:K→ R, som er givet ved 

                                                         ∀(x,y) ∈ K: L(x,y,) = f(x,y) - λ(g(x,y) - c),

at                                                                                                                                                                                                   ∂L/∂x = 0 ⇔ ∂f/∂x - λ(∂g/∂x) = 0   og   ∂L/∂y = 0 ⇔ ∂f/∂y - λ(∂g/∂y) = 0                                        Så er punktet (x,y) et stationært punkt for L.

Ifht. opgaven tænkes, at K må være mængden {(x,y) | x2 + y2 < 1, x > 0}, der klart er åben og ikke-tom. Desuden er f,g ∈ C2, hvor f(x,y) = 2xy2 - 2x2 og g(x,y) = x2 + y2 -1. Gradienten f og g er 

                                      ∇f(x,y) = [ 2y2 - 4x, 4xy ]T   og   ∇g(x,y) = [ 2x, 2y]T                                                        og i følge "Lagrange"-sætningen har vi                                                                                                                                                                                     ∇f(x,y) = λ·∇g(x,y)                                                                            hvilket svarer til ligningssystemet                                                                                                                                                                                  2y2 - 4x = 2λx       og  4xy = 2λy.

Med kravet x > 0 og en antagelse y ≠ 0 på K, isolerer vi skalaren λ i begge ligninger:

                                                       λ = (2y2 - 4x)/2x    og   λ = 4xy/2y.                                                                Forkortes der får vi

                                                       λ = (y2 - 2x)/x    og    λ = 2x. 

Og per transitivitet gælder der  (y2 - 2x)/x = 2x ⇔ y2 = 2x2 + 2x . Den sidstskrevne ligning indsættes i uligheden x2 + y2 < 1 ⇒ x2 + (2x2 + 2x) < 1 ⇔ 3x2 + 2x < 1. Løses den sidstskrevne ulighed får vi mængden ] -1; 1/3 [. Men pga. kravet  x > 0 på K, vil der ifølge "Lagrange"-sætningen, være et stationært punkt for L, hvis x ∈] 0; 1/3 [.

Men oprindeligt vil vi have stationære punkter på D for f. Med x = 1/3 indsætter vi værdien i ligningen for en cirkel således at

                            (1/3)2 + y2 = 1 ⇔ 1/9 + y2 = 1 ⇔ |y| = (2√2)/3 ⇔ y ± (2√2)/3.

De stationære punkter er ( 1/3, -(2√2)/3 ) og ( 1/3; (2√2)/3 ).

I begge tilfælde får vi funtionsværdien f( 1/3, ± (2√2)/3 ) = 10/27

Hvis i stedet x = 0, er y = ±1, haves (0, -1) og (0,1) , hvilket giver  f(0, ± 1) = 0. Men det er ikke ensbetydende med, at disse giver den største min.-værdi ifht. 10/27, idet x kan antage værdier i intervallet [0; 1]. Hvis nu x = 1, så er y = 0 i cirklens ligning, og indsætter vi disse i funktionen f, får vi f(1, 0) = -2, hvilket er klart mindre end 0.

Opsummering. Med punkterne ( 1/3, -(2√2)/3 ) og ( 1/3; (2√2)/3 ) er den globale størsteværdien 10/27 og med (1,0) er den globale mindste mindsteværdi -2.

Se vedhæftede billede for bekræftelse.

Vedhæftet fil:Picture.png

Skriv et svar til: Største og mindste værdi i D

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.