Største og mindste værdi i D

max:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+of+2xy-2x%5E2%2C+given+x%5E2%2By%5E2%3D1

min:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+of+2xy-2x%5E2%2C+given+x%5E2%2By%5E2%3D1

den skal løses uden nogen elektroniske midler, så jeg må ikke benytte mig af wolfram

Da D er lukket og begrænset antager f sin mindste og største værdi i D. 

Se her: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1716975

,#5 jeg har kigget på denne tråd og den giver ikke en forklaring eller løsning.

jeg ved det noget med at finde gradienten andet ved jeg ikke.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier

Lagrange's method
 

#7 Du har skrevet funktionen forkert op, hvis man læser denne tråd. Funktionen hedder altså 

                                                                                f(x,y) = 2xy² - 2x².

For at løse opgaven må vi bruge flg. sætning:

(Ekstremværdisætningen) Lad M ⊂ R² være en kompakt mængde, og lad f: M → R være en kontinuert funktion af to variable, som er defineret på M. Da har f en global størsteværdi og en global mindsteværdi på M. 

Ifølge opgaven har vi mængden D = {(x,y) | x² + y² ≤ 1, x ≥ 0}. Det er klart at D ⊂ R², men er den kompakt? At være kompakt vil sige, at den er lukket og begrænset.                                                                                          0) Det er klart, at f er kontinuert mht. variable x og y.                                                                                         1) Vi ved, at randen til D er mængden ∂D = {(x,y) | x² + y² = 1, x = 0 } er inkluderet i D, eller rettere, den indeholder alle sine randpunkter og er derfor lukket.                                                                                     2) Mængden D har indeholder punkter, hvis afstand til Origo er højst 1. Vælges en kugle B(0, r), hvor r >1, vil kuglen omslutte hele D, altså er D begrænset.

Af 0), 1) og 2) medfører det, at (del)mængden D er kompakt.

Vi kan nu bestemme funktionen f's største- og mindsteværdi på D. Her skal følgende sætning bruges:         

("Lagrange"-sætningen)Lad K ⊆ R² være en åben, ikke-tom mængde, og lad f,g: K → R være C²-funktioner på K. Hvis punktet (x,y) er et betinget ekstremumspunkt for f = f(x,y) under bibetingelsen g(x,y) = c, hvor den variable y = y(x) er givet implicit som funktion af x, gælder det for Lagrangefunktionen L:K→ R, som er givet ved 

                                                         ∀(x,y) ∈ K: L(x,y,) = f(x,y) - λ(g(x,y) - c),

at                                                                                                                                                                                                   ∂L/∂x = 0 ⇔ ∂f/∂x - λ(∂g/∂x) = 0   og   ∂L/∂y = 0 ⇔ ∂f/∂y - λ(∂g/∂y) = 0                                        Så er punktet (x,y) et stationært punkt for L.

Ifht. opgaven tænkes, at K må være mængden {(x,y) | x² + y² < 1, x > 0}, der klart er åben og ikke-tom. Desuden er f,g ∈ C², hvor f(x,y) = 2xy² - 2x² og g(x,y) = x² + y² -1. Gradienten f og g er 

                                      ∇f(x,y) = [ 2y² - 4x, 4xy ]^T   og   ∇g(x,y) = [ 2x, 2y]^T                                                        og i følge "Lagrange"-sætningen har vi                                                                                                                                                                                     ∇f(x,y) = λ·∇g(x,y)                                                                            hvilket svarer til ligningssystemet                                                                                                                                                                                  2y² - 4x = 2λx       og  4xy = 2λy.

Med kravet x > 0 og en antagelse y ≠ 0 på K, isolerer vi skalaren λ i begge ligninger:

                                                       λ = (2y² - 4x)/2x    og   λ = 4xy/2y.                                                                Forkortes der får vi

                                                       λ = (y² - 2x)/x    og    λ = 2x. 

Og per transitivitet gælder der  (y² - 2x)/x = 2x ⇔ y² = 2x² + 2x . Den sidstskrevne ligning indsættes i uligheden x² + y² < 1 ⇒ x² + (2x² + 2x) < 1 ⇔ 3x² + 2x < 1. Løses den sidstskrevne ulighed får vi mængden ] -1; 1/3 [. Men pga. kravet  x > 0 på K, vil der ifølge "Lagrange"-sætningen, være et stationært punkt for L, hvis x ∈] 0; 1/3 [.

Men oprindeligt vil vi have stationære punkter på D for f. Med x = 1/3 indsætter vi værdien i ligningen for en cirkel således at

                            (1/3)² + y² = 1 ⇔ 1/9 + y² = 1 ⇔ |y| = (2√2)/3 ⇔ y ± (2√2)/3.

De stationære punkter er ( 1/3, -(2√2)/3 ) og ( 1/3; (2√2)/3 ).

I begge tilfælde får vi funtionsværdien f( 1/3, ± (2√2)/3 ) = 10/27. 

Hvis i stedet x = 0, er y = ±1, haves (0, -1) og (0,1) , hvilket giver  f(0, ± 1) = 0. Men det er ikke ensbetydende med, at disse giver den største min.-værdi ifht. 10/27, idet x kan antage værdier i intervallet [0; 1]. Hvis nu x = 1, så er y = 0 i cirklens ligning, og indsætter vi disse i funktionen f, får vi f(1, 0) = -2, hvilket er klart mindre end 0.

Opsummering. Med punkterne ( 1/3, -(2√2)/3 ) og ( 1/3; (2√2)/3 ) er den globale størsteværdien 10/27 og med (1,0) er den globale mindste mindsteværdi -2.

Se vedhæftede billede for bekræftelse.