Matematik

Integration

18. maj kl. 16:00 af petbau - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg sidder med følgende opgave, hvor jeg skal integrere cos i anden + sinus i anden

Jeg ved ikke, hvordan jeg gør det??

Er der én, der kan hjælpe?

Vh

Peter


Brugbart svar (0)

Svar #1
18. maj kl. 16:07 af mathon

                     \small \int\left ( \cos^2(x)+\sin^2(x) \right )\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x=x+k


Brugbart svar (0)

Svar #2
18. maj kl. 20:05 af AMelev

#0 Allerhelst billede, men hvis det fylder for meget, så pdf. Ikke alle kan læse Wordfiler.

Ad #1 \int f(x)dx+\int g(x)dx=\int (f(x)+g(x))dx samt 
"Idiotformlen" cos^2(x)+sin^2(x)=1


Svar #3
19. maj kl. 15:05 af petbau

Okay, jeg gemmer i pdf næste gang. I er altid søde til at hjælpe og det vil jeg gerne takke for. Desværre hjælper jeres svar mig denne gang ikke.

Hvis jeg starter med kun at kigge på \int cos^{2}x(dx) og snyder ved at bruge WolframAlpha , så får jeg: \int cos^{2}x(dx)=\frac{1}{2}(x+sin(x)\cdot cos(x))+k

I mit kompendium skal jeg løse opgaven uden lommeregner/hjælpemidler. Jeg har ikke en kinamandschance for selv at ku' komme frem til ovenstående. En bekendt, der som jer, er kyndig i matematik har hjulpet mig på vej.

Hvis jeg tjekker resultatet ved at differentiere, skal jeg bl.a. bruge produktreglen for differentiation i udtrykket sin(x)cos(x) : (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)

(sin(x)\cdot cos(x))'=cos(x)\cdot cos(x)+sin(x)\cdot -sin(x)

=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)

Mht. produktreglen, så kan jeg godt forstå/regne det ud (det er så også det eneste :-(

\frac{1}{2}(x+sin(x)\cdot cos(x))+k er det samme som \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(sin(x)\cdot cos(x))+k

Stamfunktionen differentieres ved reglen om konstant gange funktion:

(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(sin(x)\cdot cos(x))+k)'

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(cos^{2}(x)-sin^{2}(x))+0

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos^{2}(x)-\frac{1}{2}sin^{2}(x)+0

AMelev, du nævner Idiotformlen : cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1, den bruger min bekendte og siger: 

cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x), dvs:

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos^{2}(x)-\frac{1}{2}sin^{2}(x)=\frac{1}{2}cos^{2}(x)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sin^{2}(x)

=\frac{1}{2}cos^{2}(x)+\frac{1}{2}(1-sin^{2}(x))=\frac{1}{2}cos^{2}(x)+\frac{1}{2}cos^{2}(x)

=cos^{2}(x)

Hvis jeg laver tilsvarende argumentation for: \int sin^{2}x(dx)=\frac{1}{2}(x-sin(x)\cdot cos(x))+k får jeg dette vha. WolframAlpha

 \int cos^{2}x(dx)+\int sin^{2}x(dx)

=\frac{1}{2}(x+sin(x)\cdot cos(x))+k+\frac{1}{2}(x-sin(x)\cdot cos(x))+k

=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+k = x + konstant

Jeg forstår godt produktreglen for differentiation; jeg kan også godt differentiere og integrere i enhedscirklen. Ved differentiation går jeg en kvart med uret og ved integration en kvart mod uret (en huskeregel jeg lærte af en dansk matematiklærer med det skotskklingende efternavn McLean

Det gør mig urolig, når jeg skal integrere cos i anden potens

Det kan være, at én af jer har nogle opgaver (gerne med vejledende svar), så jeg kan træne lidt.

Vh 

Peter


Brugbart svar (1)

Svar #4
19. maj kl. 17:42 af Januar2021 (Slettet)

Måske kan denne korte video hjælpe, handler om at integrere cos2( x)

https://www.youtube.com/watch?v=21z6gkvhlbQ&ab_channel=WhiteboardMathsWhiteboardMaths

Og denne om at integrere sin2( x)

https://www.youtube.com/watch?v=9BHC0VLf5-4


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. maj kl. 17:48 af AMelev

Hvorfor vil du bestemme integralerne hver for sig, når du lynhurtigt kan finde resultatet ved at bruge sumformlen for integraler og "Idiotformlen"/Grundrelationen for cos-sin?
Er det ud fra devisen "Hvorfor gøre det let, når det kan gøres besværligt?" :)

Hvis du vil bestemme integralerne hver for sig, kan du bruge partiel integration, suppleret med regneregler for integraler og idiotformlen:

Vedhæftet fil:Udklip-2.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. maj kl. 18:07 af AMelev

Ad #4 Hvis du bruger metoden fra videoerne, skal du for at få samme udtryk som Wolfram til sidst benytte formlen 
sin(2x)=2\cdot cos(x)\cdot sin(x).

PS! Få "Idiotformlen" lagret på rygmarven, den skal dukke op et millisekund efter, cos2 eller sin2 er kommet på banen. 


Svar #7
19. maj kl. 18:52 af petbau

Tak Januar2021, de videoer er simpelthen supergode .

AMelev, hvorfor gøre det let, når nu det kan gøres besværligt, skriver du, :-) Forklaringen er, at jeg troede, at det ville være lettere at starte med blot cos2. Jeg har ikke overblikket, men tak for din udregning med partiel integration. Idiotformlen er første punkt på dagsordnen i morgen og overmorgen, så jeg instinktivt tænker Idiotformlen når cos2 eller sinkommer på banen.

Ha' en god aften

Kh

Peter


Brugbart svar (1)

Svar #8
19. maj kl. 19:19 af ringstedLC

#7: Se at grundrelationen "bare" er Pythagoras anvendt på vinkelbenene og vinklens modstående i enhedscirklen:

\begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 \\ \sin(v)^2+\cos(v)^2 &=1= 1^2 \end{align*}


Svar #9
20. maj kl. 08:54 af petbau

Tak ringstedLC


Skriv et svar til: Integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.