Matematik

Logistiske funktioner

20. maj 2021 af kallek1 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg er lidt usikker på, om min fremgangsmåde er korrekt, og om jeg har forstået opgaverne rigtigt. Hvis ikke jeg har, kan nogen forklare mig, hvilken fremgangsmåde de enkelte opgaver jeg har lavet forkert, kræver?

(opgave beskrivelse og mine løsninger):

Opgave 1

Udviklingen i antallet af influenzaramte elever på en stor skole som funktion af antal døgn efter en influenzaepidemis udbrud beskrives ved en logistisk vækstfunktion. Væksthastigheden var størst på dag 9. Da var antallet af smittede 400.
a) Bestem den øvre grænse for antallet af influenzaramte elever.

Min løsning --> Øvre grænse bestemmes: 400*2 = 800

Opgave 2

I en model beskrives udviklingen i indbyggertallet i en by ved en logistisk vækstfunktion f med forskriften

f(x) = 3000/1+34*e^-0,157*x

hvor er byens indbyggertal x år efter 1960.

a) Bestem den øvre grænse for byens indbyggertal ifølge modellen.

Min løsning --> M = den øvre grænse. Så den øvre grænse er 30000.

b) Bestem ved beregning det tidspunkt, hvor væksthastigheden for byens indbyggertal er størst.

Min løsning -> y = 30000/2 = 15000

Løser grafisk og får x_p til 22,46.
(kan nogen fortælle mig, hvordan man beregner dette uden at gøre det grafisk?)

c) Bestem ved beregning denne største væksthastighed.

Min løsning--> Jeg får f'(x) til = 160140*e^-157/1000*x*ln(e)/(34*e^-157/1000*x+2)^2
Indsætter x_p på x's plads og får ca. 1177,5.


Brugbart svar (0)

Svar #1
20. maj 2021 af mathon

          \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\&& x=\frac{\ln(34)}{0.157} \end{array}


Svar #2
20. maj 2021 af kallek1 (Slettet)

#1 jeg forstår ikke helt? Er det f' eller er det resultatet af x_p indsat i f'? Either way forstår jeg ikke helt vejen derhen :)?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. maj 2021 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{detaljer:}\\&& f(x_o)=\frac{3000}{2}=\frac{3000}{1+34\cdot e^{-0.157\cdot x_o}}\\\\&& 1+34\cdot e^{-0.157\cdot x_o}=2\\\\&& 34\cdot e^{-0.157\cdot x_o}=1\\\\&& e^{-0.157\cdot x_o}=34^{-1}\\\\&& \left ( e^{-0.157\cdot x_o}\right )^{-1}=\left (34^{-1} \right ) ^{-1}\\\\&& e^{0.157\cdot x_o}=34\\\\&& \ln\left ( e^{0.157\cdot x_o} \right )=\ln(34) \\\\&&0.157\cdot x_o=\ln(34)\\\\\\&& x_o=\frac{\ln(34)}{0.157} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
23. maj 2021 af mathon

kontrolregning:

                             \small \small \begin{array}{llllll}&& f(x)=\frac{M}{1+C\cdot e^{-b\cdot x}}\\\\&& f\left ( \frac{\ln(C)}{b} \right )=\frac{M}{1+C\cdot e^{-b\cdot \frac{\ln(C)}{b}}}=\frac{M}{1+C\cdot \left (e^{\ln(C)} \right )^{-1}}=\frac{M}{1+C\cdot C^{-1}}=\frac{M}{1+C^0}=\frac{M}{1+1}=\frac{M}{2} \end{array}


Skriv et svar til: Logistiske funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.