Matematik

Fordoblingskonstant – eksponentiel funktion

03. juni 2021 af Maja2503 - Niveau: C-niveau

Hej.

Jeg er i gang med at læse op på eksponentielle funktioner. Jeg er dog blevet lidt i forvirret af en række omskrivninger af fordoblingskonstanten, som jeg tror er et bevis (se vedhæftet billede). Det kunne være en stor hjælp, hvis nogen kunne forklare mig disse omskrivninger, og hvad de betyder.

På forhånd tak for hjælpen:-)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-06-03 kl. 17.45.13.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. juni 2021 af Mathias7878

Fordoblingskonstanten angiver, hvor meget du skal gå hen ad x-aksen, før y = f(x) er fordoblet. Derfor lægger vi en eller anden konstant T_2 til x-værdien for at finde denne værdi, der gør, at y fordobles.

$f(x_1 + T_2)$

Anvend nu, at formen for en eksponentiel udvikling er

$f(x) = b \cdot a^x$

Dette kan omskrives til

$f(x + T_2) = b \cdot a^{x + T_2} = b \cdot a^x \cdot a^{T_2} = f(x) \cdot a^{T_2}$

Da det udtryk, vi lige har regnet, angiver hvor meget vi skal forøge x med, således at y fordobles (bemærk, at en fordobling blot betyder, at gange med 2, f.eks. er det dobbelte af 4, nemlig 8, der jo kan skrives som 2 * 4), så må der nødvendigvis gælde, at

$2 \cdot f(x) = f(x) \cdot a^{T_2}$

Divider nu med f(x) på begge sider og du har, at

$2 = a^{T_2}$

Vi bruger nu logaritmeregneregler, der giver, at

$\log(2) = \log(a^{T_2}) \Leftrightarrow \log(2) = T_2 \cdot \log(a) \Leftrightarrow T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}$

og du har dit resultat.

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. juni 2021 af ringstedLC

Se eventuelt https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/funktioner/fordoblings-og-halveringskonstant

Svar #3
03. juni 2021 af Maja2503

#1
Fordoblingskonstanten angiver, hvor meget du skal gå hen ad x-aksen, før y = f(x) er fordoblet. Derfor lægger vi en eller anden konstant T_2 til x-værdien for at finde denne værdi, der gør, at y fordobles.

$f(x_1 + T_2)$

Anvend nu, at formen for en eksponentiel udvikling er

$f(x) = b \cdot a^x$

Dette kan omskrives til

$f(x + T_2) = b \cdot a^{x + T_2} = b \cdot a^x \cdot a^{T_2} = f(x) \cdot a^{T_2}$

Da det udtryk, vi lige har regnet, angiver hvor meget vi skal forøge x med, således at y fordobles (bemærk, at en fordobling blot betyder, at gange med 2, f.eks. er det dobbelte af 4, nemlig 8, der jo kan skrives som 2 * 4), så må der nødvendigvis gælde, at

$2 \cdot f(x) = f(x) \cdot a^{T_2}$

Divider nu med f(x) på begge sider og du har, at

$2 = a^{T_2}$

Vi bruger nu logaritmeregneregler, der giver, at

$\log(2) = \log(a^{T_2}) \Leftrightarrow \log(2) = T_2 \cdot \log(a) \Leftrightarrow T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}$

og du har dit resultat.

Mange tak for hjælpen. Det giver rigtig god mening.

Jeg forstår dog ikke helt, hvordan b*a^x*a^T₂bliver til f(x)*a^T₂

Kunne du måske uddybe det?

Brugbart svar (1)

Svar #4
03. juni 2021 af ringstedLC

#3:

$\begin{align*} b\cdot a^{x\,+\,T_2} &= \underbrace{b\cdot a^x}\cdot a^{T_2} \\&=f(x)\cdot a^{T_2} \end{align*}$

Skriv et svar til: Fordoblingskonstant – eksponentiel funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.