Matematik

Omdrejninglegemer rumfang til at bestemme kuglers rumfang

19. juni 2021 af Ano123nym - Niveau: A-niveau

Er der nogen som kan forklare, hvordan formlen for rumfang af omdrejningslegemer kan benyttes til at bestemme kuglers rumfang?

Gerne en uddybet forklaring, tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. juni 2021 af ringstedLC

Kuglens omkreds er to halvcirkler. Ved at isolere y = f(x) i cirklens ligning fås en funktion for den ene halvcirkel, der så kan indsættes i formlen.

Svar #2
19. juni 2021 af Ano123nym

#1
Kuglens omkreds er to halvcirkler. Ved at isolere y = f(x) i cirklens ligning fås en funktion for den ene halvcirkel, der så kan indsættes i formlen.

Hvordan får dette en sammenhæng til integralregning?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. juni 2021 af ringstedLC

Tænk over hvad der fremkommer, når en halvcirkel roteres om x-aksen.

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. juni 2021 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Ligning\,for\,omkreds}:x^2+\bigl(f(x)\bigr)^{\!2}=r^2 & \Rightarrow \bigl(f(x)\bigr)^{\!2}=\;? \\ V= \tfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 &= \pi \cdot \int_{-r}^{r}\!\bigl(f(x)\bigr)^{\!2}\,\mathrm{d} x \\ &= 2\pi \cdot \int_{0}^{r}\!\bigl(f(x)\bigr)^{\!2}\,\mathrm{d} x \\ &= 2\pi\cdot \bigl(...\bigr) \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. juni 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{med centrum i origo }\\ \textup{er \o vre halvcirkelligning:}\\& x^2+y^2=r^2\quad -r\leq x\leq r\quad \wedge\quad 0\leq y\leq r\\ \textup{hvoraf}\\& y^2=f(x)^2=r^2-x^2\\\\\ \textup{intervallet}&\left [ -r;r \right ]\textup{ opdeles i et \textbf{stort} antal lige lange delintervaller}\\\\&-r=x_o<x_1<x_2<...<x_n=r\\\\& \textup{af l\ae ngden }\Delta x.\\\\& \textup{Delintervallerne opdeler halvcirklen i et stort antal "strimler" }\\& \textup{af h\o jden }f(x_i)\textup{ og bredden }\Delta x.\\\\& \textup{Ved en drejning p\aa \ }360\degree\textup{ om x-aksen, f\aa r hver "strimmel" }\\& \textup{volumenet:}\\\\& \Delta V=\pi\cdot f(x_i)^2\cdot \Delta x.\\\\ \textup{Kuglevolumenet bliver}\\ \textup{summen af alle disse }\\ \textup{volumenbidrag:}\\& V=\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\pi\cdot f(x_i)^2\cdot \Delta x\approx \int_{-r}^{r}\pi\cdot f(x_i)^2\,\mathrm{d}x=\pi\cdot \int_{-r}^{r} f(x_i)^2\,\mathrm{d}x\\ \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. juni 2021 af mathon

$\small \small \small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{hvoraf:}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \quad V\; \; =\pi\cdot \int_{-r}^{r}\left ( r^2-x^2 \right )\mathrm{d}x=\pi\cdot \left [r^2\cdot x-\frac{1}{3}x^3 \right ]_{-r}^{r} \end{array}$

Skriv et svar til: Omdrejninglegemer rumfang til at bestemme kuglers rumfang

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.