Matematik

Naturlige eksponentialfunktion

10. august 2021 af Emil0001 - Niveau: A-niveau

Er i gang med en eksamensspørgsmål, hvor der står: "Definer den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritmefunktion". Hvad menes der med at definere? er meget forvirret, så kunne virkelig bruge noget hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. august 2021 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{den naturlige}\\ \textup{eksponentialfunktion:} & f(x)=y=e^x&Dm(f)=\mathbb{R}\quad Vm(f)=\mathbb{R}_+\quad \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}=e^x\\\\& e^{a+b}=e^a\cdot e^b&\quad \! \! \! \! \! \! e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\\\\& f^{-1}(y)=\ln(y)\\\\\\ \textup{den naturlige}\\ \textup{logaritmefunktion:}&g (x)=y=\ln(x)&Dm(g)=\mathbb{R}_+\quad Vm(g)=\mathbb{R}\quad \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x}\\\\& g(a\cdot b)=g(a)+g(b)&g\left ( \frac{a}{b} \right )=g(a)-g(b)\\\\& g(1)=0\quad g(e)=1\\\\& g^{-1}(y)=e^y \end{array}$

Svar #2
10. august 2021 af Emil0001

Mange tak @mathon ,kan jeg få dig til at forklare det til mig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. august 2021 af Eksperimentalfysikeren

En definition af noget er en beskrivelse af, hvad dette noget er.

For den naturlige logaritme er definitionen:

$ln(x) = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$

Jeg er ikke helt sikker på, hvordan jeres bog definerer den naturlige eksponentialfunktion, men mit bedste bud er at gøre det ud fra den naturlige logaritme.

Der findes to andre definitioner, som kan benyttes for komplekse tal (det kan de to nævnte ikke), men jeg tror ikke de benyttes i gymnasiet.

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. august 2021 af Anders521

#0 Du ved, at eksponentielle funktioner er generelt givet ved udtrykket x→ b·a^x, hvor a og b er konstanter. Men den naturlige eksponential funktion er altid givet ved (dvs. defineret som) x → e^x, hvor konstanten b er sat til 1 og a (og kaldet grundtallet) er lig Eulers tal e.

Logaritmefunktioner er generelt givet x → log_a(x), hvor x > 0. Den naturlige logaritme, derimod, er altid givet ved (dvs. defineret som) x → log_e(x), hvor grundtallet a er sat til Eulers tal. Fremfor log_e(x) skrives der hellere ln(x).

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. august 2021 af Eksperimentalfysikeren

Der er nok mere i spørgsmålet end definitionerne. Du skal sikkert redegøre for at ln er en logaritmefunktion.

Her skal du vise, at den opfylder: ln(a) + ln(b) = ln(ab). Ligningen kaldes logaritmefunktionernes funktionalligning. Definitionen på, at en funktion, λ, er en logaritmefunktion, er, at den opfylder funktionalligningen.

Skriv et svar til: Naturlige eksponentialfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.