Matematik

Hjælp til ligning

05. september kl. 19:33 af SmedenMph - Niveau: A-niveau

Jeg forstår ikke hvordan jeg løser opgave 6,7 og 8.

opskriv samtlige løsninger?

Vedhæftet fil: Aflevering 1.pdf

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. september kl. 20:33 af StoreNord

Du ved jo nok, at sin(x)=0 har to løsninger, nemlig π/6 i 1. kvadrant og 5π/6 i 2. kvadrant.

Hvis du kører videre rundt i enhedscirklen og ind i en ny omgang, finder du to til.
I 3. omgang er der også et par, og også i 4. omgange, osv ...

Se den video
https://www.youtube.com/watch?v=UZY41CSNGiI&ab_channel=MartinPatrongHaspang
position 6:11


Svar #2
05. september kl. 21:12 af SmedenMph

#1

Du ved jo nok, at sin(x)=0 har to løsninger, nemlig π/6 i 1. kvadrant og 5π/6 i 2. kvadrant.

Hvis du kører videre rundt i enhedscirklen og ind i en ny omgang, finder du to til.
I 3. omgang er der også et par, og også i 4. omgange, osv ...

Se den video
https://www.youtube.com/watch?v=UZY41CSNGiI&ab_channel=MartinPatrongHaspang
position 6:11

Jeg forstår ikke helt det med man kan fortsætte rundt, så hedder den første altså = π/6, den anden = 5π/6 og den tredje = 2π * π/6?


Brugbart svar (0)

Svar #3
05. september kl. 22:39 af ringstedLC

#2: Nej, den 3. bliver:

2\pi\;{\color{Red} +}\;\frac{\pi}{6}

Radianer er en længde på en cirkelbue. Tænk det som et bestemt punkt på et hjul, fx der hvor ventilen sidder. Hvis hjulet har r = 1 vil ventilen røre jorden hver gang den har bevæget sig 2π, da omkredsen = 2π. Et antal omgange k kan så udtrykkes som k · 2π


Brugbart svar (0)

Svar #4
05. september kl. 22:40 af ringstedLC

6)

Tænk på en vinkel fx π/2 ≈ 90º indlagt i Enhedscirklen. Sinus til vinklen er y-værdien af grafen på dit bilag, fx:

\begin{align*} \sin\!\left ( \frac{\pi}{2} \right ) &= 1 \end{align*}

Men da sinusfunktionen (- og cos.-de andre trig. fkt.) er periodiske, gentages funktionsværdierne med perioden 2π uendeligt mange gange. Fx:

\begin{align*} \sin\!\left ( \frac{\pi}{2}+2\pi \right )&=\sin\!\left ( \frac{5\pi}{2} \right )=1 \\ \sin\!\left ( \frac{\pi}{2}+2\cdot 2\pi \right )&=\sin\!\left ( \frac{9\pi}{2} \right )=1 \\ \sin\!\left ( \frac{\pi}{2}-2\pi \right ) &= \sin\!\left ( \frac{-3\pi}{2} \right )=1 \\ \textup{Generelt}:\sin(x)=\sin\!\left ( x+k\cdot 2\pi \right )&\quad \textup{formel (189)} \end{align*}

Igen i Enhedscirklen/på grafen (forestil dig dens forløb i 2. og 3. kvadrant): Sinus til en vinkel v har den samme y-værdi som sinus til den vinkel, der er π - v (≈ 180º - v), fx:

\begin{align*} \sin\!\left ( \frac{\pi}{6} \right )=\sin\!\left (\pi-\frac{\pi}{6} \right ) &= \sin\!\left (\frac{5\pi}{6} \right )=0.5 \\ \sin\!\left ( \frac{\pi}{6} \right )=\sin\!\left (2\pi-\frac{\pi}{6} \right ) &= \sin\!\left (\frac{11\pi}{6} \right )=0.5 \\ \sin\!\left ( \frac{\pi}{6} \right )=\sin\!\left (-2\pi-\frac{\pi}{6} \right ) &= \sin\!\left (\frac{-13\pi}{6} \right )=0.5 \\ \textup{Generelt}:\sin(x)=\sin\!\left (k\cdot \pi-x\right )& \quad \textup{formel (191)} \end{align*}

Da de to formler skal kobles sammen, fås:

\begin{align*} \sin(x)&=0.5\;,\; \sin(x)=\sin(x+k\cdot 2\pi)=\sin\!\left (k\cdot \pi-x\right ) \;,\;\sin\!\left ( \frac{\pi}{6} \right )=0.5 \\ x&=\sin^{-1}\!\left ( 0.5 \right ) \\ x=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi &\vee x=k\cdot \pi-\frac{5\pi}{6}\;,\;k\in \mathbb{Z} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #5
06. september kl. 08:53 af mathon

          \small \begin{array}{lllll}\small\textbf{7)}\\&& \cos(x)=\cos(2\pi-x)\\ \textup{hvoraf}\\&& \cos(x)=\cos(2\pi-x)=0.5\\\\&& x=\cos^{-1}\left ( 0.5 \right )=\frac{\pi}{3}\\\\&& 2\pi-x=\frac{6\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\\ \textup{l\o sninger til}\\ \cos(x)=0.5\\&& x=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\pi}{3}+p\cdot 2\pi\\ &p\in\mathbb{Z}\\ \frac{5\pi}{3}+p\cdot 2\pi \end{array}\right. \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
06. september kl. 09:09 af mathon

          \small \small \begin{array}{lllll}\small\textbf{8)}\\&& \tan(x)=\tan(x+\pi)\\ \textup{hvoraf}\\&& \tan(x)=\tan(x+\pi)=\sqrt{3}\\\\&& x=\tan^{-1}\left ( \sqrt{3} \right )=\frac{\pi}{3}\\\\&& \frac{\pi}{3}+\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\\ \textup{l\o sninger til}\\ \tan(x)=\sqrt{3}\\&& x=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\pi}{3}+p\cdot \pi\\ &p\in\mathbb{Z}\\ \frac{4\pi}{3}+p\cdot \pi \end{array}\right. \end{array}


Skriv et svar til: Hjælp til ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.