Matematik

Komplekse tal: Hvorfor er (-i)^3 lig med i?

07. september 2021 af Thifo1507 - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg har fået nogle opgaver, som lyder:

"Hvad er i^2, i^3, i^4, i^5 (-i)^2 , (-i)^3 , (-i)^4 og (-i)^-5 ?"

Jeg kan godt løse den uden parenteserne, men så kommer jeg til de andre med parenteserne
(-i)^2 og (-i)^3
Jeg troede nemlig at den var sådan her:
(-i)^2=(-i)*(-i)
= i
Og altså ikke -1, da jeg godt ved i^2 = -1. Efter en hurtigt søgning, så viste det at (-i)^2 også er lig med -1, så tænkte jeg ah ok, så prøver jeg lige regne (-i)^3:

(-i)^3 = -i^3
= -i^2*i
= -1*i
= -i

Den er også forkert, svaret skulle gerne være i, og altså ikke .i. Så jeg må altså have overset et eller andet regel, andet forkert eller måske overset noget. Kan i måske hjælpe mig med at forklare eller vise hvorfor det gbliver sådan der?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. september 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}&& \textit{\textbf{i}}^3=-\textit{\textbf{i}}\\\\&& \left (\textit{\textbf{-i}} \right )^3=\left ( (-1)\cdot\textit{\textbf{i}} \right )^3=(-1)^3\cdot \textit{\textbf{i}}^3=(-1)\cdot \left ( -\textit{\textbf{i}}\right)=\textit{\textbf{i}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. september 2021 af Eksperimentalfysikeren

(-i)³ = (-1)³*i³ = -1 * -i = i

(-i)² = (-i)*(-i) = -(i)*(-i) = +(i)*(i) = i*i = -1

(-i)³ = (-i)²*(-i) = -1*(-i) = i

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. september 2021 af SuneChr

Vi kan også indse potenserne af $i$ ved at betragte den imaginære plan og argumentreglen
for produktet af imaginære tal.
$i$ repræsenteres af punktet                 (0 , 1)
$i^{2}$ ligger, hvor (0 , 1) drejes + 90º       (- 1 , 0)
$i^{3}$ ved yderligere drejning på + 90º     (0 , - 1)
$i^{4}$ ved yderligere drejning på + 90º     (1, 0)

Skriv et svar til: Komplekse tal: Hvorfor er (-i)^3 lig med i?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.