Matematik

Løsning på ligning

24. september kl. 16:09 af gavs - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal vise, at funktionen:

f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{2cos(x)}{3sin(x)}

Ingen løsninger har for f(x)=0 i intervallet (0,\pi). Dette har jeg gjort ved at sætte lig med 0 og så omforme til:

tan(x)=x

Som tydeligt viser, at ligningen kun kan være opfyldt, når x er 0, som ikke ligger på intervallet. Men har man så vist det ønskede?

Jeg skal også vise, at der ligger en løsning på f(x)=0 i intervallet (\pi,2\pi), og dette kan jeg også godt se grafisk, men jeg kan simpelthen ikke finde ud af at udregne det. Hvordan kan jeg løse opgaven? Man kan vel udregne værdien vha. funktionen uden at skulle lave Taylorrækker og sådan noget, eller hvad?


Brugbart svar (0)

Svar #1
24. september kl. 16:26 af janhaa


Svar #2
24. september kl. 17:52 af gavs

Jeg forstår, hvordan man kan argumentere for, at der eksisterer sådan en løsning vha. skæringssætningen, men jeg forstår bare ikke, hvordan man udregner selve løsningen dvs. finde x eksakt?


Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september kl. 00:22 af AskTheAfghan

#0

Dette har jeg gjort ved at sætte lig med 0 og så omforme til:

tan(x)=x

Som tydeligt viser, at ligningen kun kan være opfyldt, når x er 0, som ikke ligger på intervallet. Men har man så vist det ønskede?

Hvordan viser det "tydeligt", at ligningen kun kan være opfyldt for x = 0? Det svarer ikke helt på, om der IKKE kan være nogle andre løsninger i (0,π) ud over 0.

Du kan dog gøre det på en meget nemmere måde som følgende: Antag for modstrid, at f(y) = 0 for mindst et y∈(0,π). Klart at f > 0 på (y,π), så ingen rod i (y,π); overvej selv hvorfor dette er tilfældet. Givet p∈(0,y), ses der, at f(x) < f(p) < f(y) = 0 for alle x∈(0,p), men så bliver det umuligt, når f(x) → 0 for x → 0+; igen overvej hvorfor.


Skriv et svar til: Løsning på ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.