Matematik

Elektriske kredsløb og komplekse tal?

22. oktober 2021 af asgersong - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har fået stillet denne sjove opgave af min matematikinstruktor uden nogen baggrundsviden indenfor elektriske kredsløb.

Jeg har kunne løse 1'eren, men sidder fast i 2'eren.

En med noget elektroingeniørfaglig viden som kan hjælpe? (Se vedhæftet)

Man skal rulle lidt ned for at komme frem til opgaverne.

Vedhæftet fil: Sjov opgave til dig.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2021 af peter lind

se https://da.wikipedia.org/wiki/Komplekse_tal  specielt elementære regneregler-division og polær beskrivelse


Brugbart svar (0)

Svar #2
23. oktober 2021 af BirgerBrosa

I øvrigt, så er det nogle gode begynderopgaver for AC-analyse og frekvenskarakteristikker.


Brugbart svar (0)

Svar #3
24. oktober 2021 af mathon

\begin{array}{llllll} \small\textbf{1.}\\&& \large \frac{Z^2}{Z_1+Z_2}=\frac{\frac{1}{j\cdot \omega\cdot C}}{R+\frac{1}{j\cdot \omega\cdot C}}=\frac{1}{1+j\cdot \omega\cdot R\cdot C} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
24. oktober 2021 af mathon

\begin{array}{llllll} \small\textbf{2.}\\&& \large \frac{1}{1+j\cdot \omega\cdot R\cdot C} =&\frac{1-j\cdot \omega\cdot R\cdot C}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\frac{1}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}+j\cdot \frac{-\omega\cdot R\cdot C}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\\\\&&& \frac{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}\cdot e^{\, j\cdot \tan^{-1}\left ( -\omega\cdot R\cdot C \right ) } \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
24. oktober 2021 af mathon

\begin{array}{llllll} \small\textbf{3.}\\ \large && \frac{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\&& \frac{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}\cdot\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2} }=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\&& \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\&&\small 1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2=2\\\\&& \omega^2\cdot R^2\cdot C^2=1\\\\&& \omega^2=\left (\frac{1}{R\cdot C}\right )^2\\\\&& \omega=\frac{1}{R\cdot C}\\\\&& 2\pi\cdot f=\frac{1}{R\cdot C}\\\\\\&& f=\frac{1}{2\pi \cdot R\cdot C}\\\\\\&& \phi=\tan^{-1}\left ( -\frac{1}{R\cdot c}\cdot R\cdot C \right )=\tan^{-1}\left ( -1 \right )=-\frac{\pi}{4} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
24. oktober 2021 af mathon

\begin{array}{llllll} \small\textbf{3.}\\ \large && \frac{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\&& \frac{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}\cdot\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2} }=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\&& \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\&&\small 1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2=2\\\\&& \omega^2\cdot R^2\cdot C^2=1\\\\&& \omega^2=\left (\frac{1}{R\cdot C}\right )^2\\\\&& \omega=\frac{1}{R\cdot C}\\\\&& 2\pi\cdot f=\frac{1}{R\cdot C}\\\\\\&& f=\frac{1}{2\pi \cdot R\cdot C}\\\\\\&& \phi=\tan^{-1}\left ( -\frac{1}{R\cdot c}\cdot R\cdot C \right )=\tan^{-1}\left ( -1 \right )=-\frac{\pi}{4} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #7
24. oktober 2021 af mathon

\small \begin{array}{llllll} \small\textbf{5.}\\&& \large \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}=&\frac{R }{R+\frac{1}{j\cdot \omega\cdot C}}=\frac{j\cdot \omega\cdot R\cdot C}{1+j\cdot \omega\cdot R\cdot C} =\frac{j\cdot \omega\cdot R\cdot C\cdot \left ( 1-j\cdot \omega\cdot R\cdot C \right )}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\frac{j\cdot \omega\cdot R\cdot C+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\\\\&&&\frac{\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}+j\cdot \frac{ \omega\cdot R\cdot C}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}=\\\\&&&\sqrt{\left (\frac{\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2} \right )^2+\left ( \frac{ \omega\cdot R\cdot C}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2} \right )^2}\cdot e^{\, j\cdot\tan^{-1}\left ( -\frac{1}{\omega\cdot R\cdot C} \right ) }=\\\\&&& \frac{\omega\cdot R\cdot C\cdot \sqrt{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}}{1+\omega^2\cdot R^2\cdot C^2}\cdot e^{\, j\cdot\tan^{-1}\left ( -\frac{1}{\omega\cdot R\cdot C} \right ) } \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #8
24. oktober 2021 af mathon

\small \begin{array}{llllll} \small\textbf{7.}\\&& \large Z= \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}=&\frac{R }{R+j\cdot \left ( \omega \cdot L-\frac{1}{\omega\cdot C} \right )}= \frac{R\cdot \omega\cdot C}{R\cdot \omega\cdot C+j\cdot \left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )}=\frac{R\cdot \omega\cdot C\cdot \left ( R\cdot \omega\cdot C-j\cdot \left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right ) \right )}{\left (R\cdot \omega\cdot C+j\cdot \left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right ) \right )\cdot\left (R\cdot \omega\cdot C-j\cdot \left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right ) \right ) }=\\\\&&& \frac{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2-j\cdot \left ( R\cdot \omega^3 \cdot L\cdot C^2-R\cdot \omega\cdot C\right )}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C -1\right )^2}=\frac{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C -1\right )^2}-j\cdot \frac{\left ( R\cdot \omega^3\cdot L\cdot C^2-R\cdot \omega \cdot C \right )}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C -1\right )^2}=\\\\&&& \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #9
24. oktober 2021 af mathon

\small \small \begin{array}{llllll} \small\textbf{7. fortsat}\\&& \large \\\\&&& \sqrt{\left ( \frac{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2} \right )^2+\left (\frac{R\cdot \omega^3\cdot L\cdot C^2-R\cdot \omega\cdot C}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2} \right )^2}\cdot e^{\, j\cdot \phi}=\\\\&&& \sqrt{\frac{R^4\cdot \omega^4\cdot C^4+R^2\omega^6\cdot L^2\cdot C^4-2\cdot R^2\cdot \omega^4\cdot L\cdot C^3+R^2\cdot \omega^2\cdot C^2}{\left (R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2 \right )^2}}\cdot e^{\, j\cdot \phi} =\\\\&&& \frac{\sqrt{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2\cdot \left ( R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+1 \right )+R^2\cdot \omega^4\cdot L\cdot C^3\cdot \left ( \omega^2\cdot L\cdot C-2 \right )}}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2 }\cdot e^{\, j\cdot \phi}=\\\\&&& \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #10
24. oktober 2021 af mathon

\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{7. fortsat}\\\\&&& \large \frac{\sqrt{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2\cdot\left (R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+1 \right ) +R^2\cdot \omega^2\cdot C^2\cdot\left ( \omega^2\cdot L\cdot C\cdot \left ( \omega^2\cdot L\cdot C-2 \right ) \right )}}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2}\cdot e^{\, j\cdot \phi}=\\\\&&& \frac{\sqrt{R^2\cdot \omega^4\cdot C^2\cdot \left ( R^2\cdot C^2+1 +\omega^2\cdot L^2\cdot C^2-2\cdot L\cdot C\right )}}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2}\cdot e^{\, j\cdot \phi}=\\\\&&& \frac{R\cdot \omega^2\cdot C\cdot \sqrt{R^2\cdot C^2+\omega^2\cdot L^2\cdot C^2-2\cdot L\cdot C+1}}{R^2\cdot \omega^2\cdot C^2+\left ( \omega^2\cdot L\cdot C-1 \right )^2} \cdot e^{\, j\cdot \tan^{-1}\left ( \frac{\omega^2\cdot L\cdot C-1}{R} \right )} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #11
24. oktober 2021 af BirgerBrosa

7.

Vi opskriver knudepunktsligningerne for Vout og for knudepunktet der forbinder L og C (vi kalder det for A).

Løser man ligningerne med hensyn til VA og Vout og rokerer lidt rundt får man overføringsfunktionen i LaPlace-domænet: -

Der jo tydeligvis er en overføringsfunktion for et båndpasfilter.

Vi har naturligvis her benyttet at impedanserne forårsaget af L og C er Z_L = sL og Z_C = 1/sC.

Ønskes overføringsfunktionen i frekvensdomænet erstattes s, således at s=jw.


Skriv et svar til: Elektriske kredsløb og komplekse tal?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.