Matematik

Eulers ligning

29. oktober 2021 af gavs (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal løse opgave b i den vedhæftede fil, men jeg er stødt ind i et problem. Jeg har differentieret venstresiden sådan her:

$\frac{d}{dt}f(tx,ty)=\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)\frac{d(tx)}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\frac{d(ty)}{dt}=x\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)$

Og højresiden sådan her:

$\frac{d}{dt}(t^kf(x,y))=kt^{k-1}f(x,y)=\frac{kt^{k}}{t}f(x,y)$

Så fås:

$x\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\frac{kt^{k}}{t}f(x,y)$

Men dette holder jo kun for t=1. Hvordan viser jeg så, at det også holder for øvrige t?

Vedhæftet fil: opgsp.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2021 af peter lind

I den anden ligning sætter du bare til sidst k=1. Det gælder jo for alle k også for k= 1

Svar #2
29. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Ok, men skal det ikke også gælde, når k er andet end 1? Man skal vel kunne lave en vilkårlig kombination af k og t? Der står jo, det skal gælde for alle t>0.

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. oktober 2021 af peter lind

Undskyld. Der er t du skulle sætte lig 1. D skulle jo komme frem til ligningen lige under

Svar #4
29. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Det forstår jeg ikke helt. Jeg er jo interesseret i at vide, hvad man gør, når t er forskellig fra 1.

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. oktober 2021 af peter lind

Hvorfor vil du vide det ? Du skal jo nå frem til formlen i b. Det opnår du jo ved at sætte t = 1

Svar #6
29. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Jeg troede bare, at man skulle vise, at det gælder for alle t. Hvis man sætter t=1, har man vel kun vist, at f opfylder Eulers ligning for t=1.

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. oktober 2021 af Anders521

#6 Se #2 i https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1980850

Svar #8
30. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Okay. Så forstår jeg det vist. Det er fordi, at k i Eulers ligning ikke nødvendigvis skal være det k, som beskriver homogeniteten af f, men k betyder her bare en konstant, ikke?

Svar #9
30. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Eller er det fordi, at Eulers ligning kun gælder for t=1? Sætter man t=1, så svarer det jo til, at sammenhængen gælder i punktet (x,y)?

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. oktober 2021 af Anders521

#8 Som der står i opgaven, er k et reelt tal.

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. oktober 2021 af Soeffi

#0. Indsætter billede.

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. oktober 2021 af Soeffi

#9...Eller er det fordi, at Eulers ligning kun gælder for t=1?

Du skal vise, at det gælder for f(x,y). Du har vist det for f(tx,ty), men f(x,y) svarer jo netop til f(tx,ty), når t = 1, qed!

Svar #13
30. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Det hele giver mening for mig nu. Tak.

Svar #14
30. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Kan det passe, at funktionen B(m,h) er homogen af grad -1?

Det ser umiddelbart sådan ud, når jeg forsøger at udregne det:

$B(tm,th)=\frac{tm}{t^2h^2}=t^-^1\frac{m}{h^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
30. oktober 2021 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #16
31. oktober 2021 af Soeffi

#0...
$x\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\frac{kt^{k}}{t}f(x,y)$

Jeg tror, at det skal være:...

$x\frac{\partial f}{\partial x} (tx,ty)+y\frac{\partial f}{\partial y} (tx,ty)=k\cdot t^{k-1}\cdot f(x,y)$

Heraf kan Eulers ligning udledes som det specialtilfælde, hvor t = 1, dvs.

$x\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=k\cdot f(x,y). \;QED$

Svar #17
31. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Nu stiller jeg måske et dumt spørgsmål, men når man så har sat t=1, og man får det ønskede, så har man vel vist, at det gælder for alle t, da der jo er tale om et vilkårligt (x,y), og man ganger jo t på disse koordinater, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #18
31. oktober 2021 af peter lind

for alle lovlige t. Funktionen B(m, h) dur ikke for negative tal.

Hvorfor vender du hele tiden tilbage til t ? Det=n er helt ligegyldig

Svar #19
31. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Det gør jeg nok fordi, jeg ikke helt har forstået det så. Men hvad mener du med, at B(m,h) ikke dur for negative tal? Altså jeg kan sagtens se, at massen og højden ikke kan antage negative værdier.

Brugbart svar (0)

Svar #20
31. oktober 2021 af Soeffi

#17...Nu stiller jeg måske et dumt spørgsmål...

Det oprindelige spørgsmål i opgaven er dumt, fordi du bliver bedt om et over-indviklet bevis.

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.