Vis ved brug af kædereglen, at f opfylder Eulers ligning.

#0 Der gættes på, at der ønskes et bevis for Eulers ligning for funktioner af to variable.

#0 Sæt Ω (t) := f(t·x, t·y)/ t^k, hvor x(t) = t·x og y(t) = t·y, da er 

dΩ(t)/dt  =  (1/t^2k)·( df(t·x, t·y)/dt ·t^k  -  f(t·x, t·y)·k·t^k-1 )                                                                                                        =  (1/t^2k)·( [ ∂f(t·x, t·y)/∂x · dx(t)/dt + ∂f(t·x, t·y)/∂y · dy(t)/dt ]·t^k  -  k·f(t·x, t·y)·t^k-1 )                                                =  (1/t^2k)·( [ ∂f(t·x, t·y)/∂x ·x + ∂f(t·x, t·y)/∂y · y ]·t^k  -  k·f(t·x, t·y)·t^k-1 )                                                                    =  (1/t^2k)·( { [ ∂f(t·x, t·y)/∂x ·x + ∂f(t·x, t·y)/∂y · y ]·t  -  k·f(t·x, t·y) }·t^k-1 )

Med Hom(f) = k er Ω(t) := f(t·x, t·y)/ t^k =  t^k·f(x,y)/ t^k = f(x,y) blot en konstant for ethvert t > 0. Dvs. at         dΩ(t)/dt = 0 for ethvert t > 0. Indholdet ml. Tuborgklammerne skal altså være nul: 

                              [ ∂f(t·x, t·y)/∂x ·x + ∂f(t·x, t·y)/∂y · y ]·t  -  k·f(t·x, t·y)  =  0

Sættes t = 1 fås

                                                ∂f(x, y)/∂x ·x + ∂f(x, y)/∂y · y  -  k·f(x, y)  =  0                        ⇔                                                                                              ∂f(x, y)/∂x ·x + ∂f(x, y)/∂y · y   =  k·f(x, y)                                               Som ønsket.

Tak for svar Anders521, er dog stadig lidt i tvivl, da du bruger nogle symboler jeg ikke har set før. Hvad er Ω (t) og Hom(f)?

#3 Det er en funktion Ω: R₊ → R, således at t → Ω(t). Udtrykket Hom(f) = k betyder, at f er homogen af grad k.