Matematik

Vis ved brug af kædereglen, at f opfylder Eulers ligning.

25. oktober kl. 18:38 af SirBergien - Niveau: Universitet/Videregående

Bare ignorer opgave (a).

Det jeg er i tvivl om er i opg (b), hvor vi jo skal vise at lighedstegnet i Eulers ligning gælder. Jeg er godt klar over hvordan man bruger kædereglen, men har lidt svært ved at se hvordan jeg skal finde den partielt differentierede for x og y, når der ikke er givet noget reel definition på funktionen. Det eneste vi ved er jo egentlig bare at den er homogen af grad k. 

Med andre ord; hvordan finder man værdien af  (∂f/∂x)(x, y) og (∂f/∂y)(x, y)


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. oktober kl. 19:58 af Anders521

#0 Der gættes på, at der ønskes et bevis for Eulers ligning for funktioner af to variable.


Brugbart svar (1)

Svar #2
25. oktober kl. 21:23 af Anders521

#0 Sæt Ω (t) := f(t·x, t·y)/ tk, hvor x(t) = t·x og y(t) = t·y, da er 

dΩ(t)/dt  =  (1/t2k( df(t·x, t·y)/dt ·tk   f(t·x, t·y)·k·tk-1 )                                                                                                        =  (1/t2k( [ ∂f(t·x, t·y)/∂x · dx(t)/dt + ∂f(t·x, t·y)/∂y · dy(t)/dt ]·tk   k·f(t·x, t·y)·tk-1 )                                                =  (1/t2k( [ ∂f(t·x, t·y)/∂x ·x + ∂f(t·x, t·y)/∂y · y ]·tk  -  k·f(t·x, t·y)·tk-1 )                                                                    =  (1/t2k( { [ ∂f(t·x, t·y)/∂x ·x + ∂f(t·x, t·y)/∂y · y ]·t  -  k·f(t·x, t·y) }·tk-1 )

Med Hom(f) = k er Ω(t) := f(t·x, t·y)/ tk =  tk·f(x,y)/ tk = f(x,y) blot en konstant for ethvert t > 0. Dvs. at         dΩ(t)/dt = 0 for ethvert t > 0. Indholdet ml. Tuborgklammerne skal altså være nul: 

                              [ ∂f(t·x, t·y)/∂x ·x + ∂f(t·x, t·y)/∂y · y ]·t  -  k·f(t·x, t·y)  =  0

Sættes t = 1 fås

                                                ∂f(x, y)/∂x ·x + ∂f(x, y)/∂y · y  -  k·f(x, y)  =  0                        ⇔                                                                                              ∂f(x, y)/∂x ·x + ∂f(x, y)/∂y · y   =  k·f(x, y)                                               Som ønsket.


Svar #3
25. oktober kl. 22:33 af SirBergien

Tak for svar Anders521, er dog stadig lidt i tvivl, da du bruger nogle symboler jeg ikke har set før. Hvad er Ω (t) og Hom(f)?


Brugbart svar (0)

Svar #4
25. oktober kl. 22:49 af Anders521

#3 Det er en funktion Ω: R+ → R, således at t → Ω(t). Udtrykket Hom(f) = k betyder, at f er homogen af grad k


Skriv et svar til: Vis ved brug af kædereglen, at f opfylder Eulers ligning.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.