Matematik

Differentialregning - vands massefylde

02. november 2021 af sarahssofie - Niveau: A-niveau

Opgaven lyder:

1 kg vand har ved en temperatur på $t \degree C (hvor 0\degree \leq t\leq 30\degree)$ et rumfang på:

$V=999,87-0,06426t^2-0,0000679t^3 cm^3$

ved hvilken temperatur har vand den største massefylde?

Mange tak på forhånd!! :) :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. november 2021 af mathon

Bestem maksimum for V(t)
det vil bl.a. sige
$\small V{\, }'(t)=-0.000204t^2-0.12852t=0$

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. november 2021 af mathon

korrektion:
Bestem minimum for V(t)
det vil bl.a. sige
$\small V{\, }'(t)=-0.000204t^2-0.12852t=0$

Svar #3
02. november 2021 af sarahssofie

Tusind tak for det!

Bare lige for at være sikker, er dette så svaret?

Svar #4
02. november 2021 af sarahssofie

Hvorfor er det den samme "regnestykke" for maksimum og minimum?

Hvor får du -0,0000204t^2 og 0,12852t fra?

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. november 2021 af mathon

Ekstrema kræver bl.a. $\small V{\, }'(t)=0$

Svar #6
02. november 2021 af sarahssofie

Jeg forstår det ikke helt?

Er $V'(t)=-0,000204t^2-0,12852t=0$ svaret?

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. november 2021 af mathon

Beregn for hvilket t
$\small -0.000204\cdot t^2-0.12852\cdot t=0$

Svar #8
03. november 2021 af sarahssofie

Så jeg skal beregne dette udtryk?

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. november 2021 af ringstedLC

#4: I #2 korrigeres.

#8: Opgaven er en optimeringsopgave i sammenhængen mellem største massefylde og volume:

$\begin{align*} \rho=\frac{m}{V} \Rightarrow \rho_{maks} &= \frac{m}{V_{min}} \end{align*}$

Du skal altså bestemme den værdi af t, der giver V_min for at bestemme ρ_maks .

Volumet af ét kg vand, V som funktion af temp., t i intervallet 0 ≤ t ≤ 30 er givet. Ved at differentiere funktionen og løse nedenstående ligning, bestemmes den værdi af t, der giver ekstrema for funktionen:

$\begin{align*} V(t) &= \bigl(...\bigr)\quad,\;0\leq t\leq 30 \\ V_{ekstr}(t) \Rightarrow V'(t)=0 &= \bigl(...\bigr)' \\ 0 &= 3\cdot (-0.0000679)\cdot t^{\,3-1}-2\cdot 0.06426\cdot t^{\,2-1}+0 \\0 &= -0.000204\cdot t^2-0.12852\cdot t \\t &= \;? \\&\textup{Ligningen\,er\,en\,2.\,gradsligning,} \\ &\textup{hvis\,l\o sninger\,er\,begr\ae nsede\,af\,betingelsen.} \\\\ \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. november 2021 af ringstedLC

#0: Din funktion V er forhåbentligt afskrevet forkert, da den har et lokalt maksimum i intervallet.

$\begin{align*} {\color{Blue} V(t)} &= -0.0000679t^3-0.06426t^2+999.87 \\ {\color{Red} V1(t)} &= -0.0000679t^3\;{\color{Red} +}\;0.06426t^2+999.87 \\ V1'(t)=0 &= -0.0002037t^2+0.12852t\;,\;0\leq t\leq 30 \\ \Rightarrow t &= \;? \end{align*}$

Løsningen bliver dog den samme.

Vedhæftet fil:_0.png

Skriv et svar til: Differentialregning - vands massefylde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.