Matematik

Geometri jule-nøtt

06. december 2021 af janhaa - Niveau: Universitet/Videregående

Vanntanken i figuren har bunn gitt ved z = y². For |y| <= 1. x=0 og x=3.

bestem og regn ut volumet av vannet i tanken, se figuren.

Vedhæftet fil: 8F3FD676-19EE-4A3D-81D8-E7C8CBF52798.jpeg

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. december 2021 af SuneChr

Rumfanget af vandmængden halverer rumfanget af hele tanken.
Vi har rumfanget af hele tanken $3\int_{-1}^{1}\left ( -x^{2}+1 \right )\textup{d}x= 4$
z = ¹/₃x og dermed y² = ¹/₃x ⇒ |y| = $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}$

Rumfanget af vandmængden $\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{0}^{3}\sqrt{x}\, \textup{d}x=2$

Svar #2
06. december 2021 af janhaa

#1
Rumfanget af vandmængden halverer rumfanget af hele tanken.
Vi har rumfanget af hele tanken $3\int_{-1}^{1}\left ( -x^{2}+1 \right )\textup{d}x= 4$
z = ¹/₃x og dermed y² = ¹/₃x ⇒ |y| = $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}$

Rumfanget af vandmængden $\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{0}^{3}\sqrt{x}\, \textup{d}x=2$

Volumet av hele tanken er 4.

ja correct.
men volumet av det resten (gjenværende vann) er ikke 2, se bilde...

svaret er ikke 1/2 (av 4, dvs 2).

Vedhæftet fil:38FC5459-C41C-4DA5-95FF-9F0519E1CC69.jpeg

Brugbart svar (1)

Svar #3
08. december 2021 af SuneChr

Hmmm... !

Vandoverfladen er planen $\alpha$ : { (x , y , z) |  - x + 3z = 0 }
Den krumme flade $\beta$ : { (x , y , z) |  z = y² }
Projektionen af $\alpha \cap \beta$ på xy-planen { (x , y , 0) |  |y| = $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}$ }
Tripelintegralets værdi er da rumfanget R( $\Lambda$ ) af legemet $\Lambda$

$\Lambda$ = { (x , y , z) | 0 ≤ x ≤ 3 ∧ |y| ≤ $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}$ ∧ z ≤ ¹/₃x } ?
Rumfanget af truget er 4.
Rumfanget af vandet er 4 - R( $\Lambda$ ) ?

Tripelintegralets opstilling er jeg mere usikker på:

$\int_{x=0}^{3}\int_{y=-1}^{y^{2}}\int_{z=0}^{1}\left ( -x + 3z \right )\, \textup{d}z\, \textup{d}y\, \textup{d}x$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. december 2021 af SuneChr

# 3 postscriptum

I øvrigt er der symmetri m.h.t. xz-planen, der, med en faktor-2, kan reducere beregningerne.

Svar #5
08. december 2021 af janhaa

#3
Hmmm... !

Vandoverfladen er planen $\alpha$ : { (x , y , z) |  - x + 3z = 0 }
Den krumme flade $\beta$ : { (x , y , z) |  z = y² }
Projektionen af $\alpha \cap \beta$ på xy-planen { (x , y , 0) |  |y| = $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}$ }
Tripelintegralets værdi er da rumfanget R( $\Lambda$ ) af legemet $\Lambda$

$\Lambda$ = { (x , y , z) |   0 ≤ x ≤ 3   ∧ |y| ≤ $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}$    ∧   z ≤ ¹/₃x  }     ?
Rumfanget af truget er 4.
Rumfanget af vandet er   4 - R( $\Lambda$ )                                           ?

Tripelintegralets opstilling er jeg mere usikker på:

$\int_{x=0}^{3}\int_{y=-1}^{y^{2}}\int_{z=0}^{1}\left ( -x + 3z \right )\, \textup{d}z\, \textup{d}y\, \textup{d}x$                                ?

Takk for bidraget ditt. Jeg har ikke beregna ditt trippel-integral. Men

V(tapt) = 12/5

V(tot)= 4

V(igjen)= V(vann) = 8/5

jeg skal beregne trippel-integralet i morra. Er opptatt i dag...

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. december 2021 af SuneChr

Har prøvet med en numerisk beregning, hvor intervallet 0 ≤ y ≤ 1 deles i 300 dele
og benyttet symmetrien.

Rumfang af vand = $\frac{4}{243\cdot 10^{10}}\sum_{j=1}^{300}j^{3}\left ( 2j-1 \right )$ = 1,6100... meget nær ⁸/₅
En redegørelse gives gerne.

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2021 af SuneChr

Min beregning af

$\int_{x=0}^{3}\int_{y=-1}^{y^{2}}\int_{z=0}^{1}\left ( -x + 3z \right )\, \textup{d}z\, \textup{d}y\, \textup{d}x$ giver et stort rundt $0$ .
Integrand, interval og integrationsrækkefølgen er da også på usikker grund.

Svar #8
09. december 2021 af janhaa

#7
Min beregning af

$\int_{x=0}^{3}\int_{y=-1}^{y^{2}}\int_{z=0}^{1}\left ( -x + 3z \right )\, \textup{d}z\, \textup{d}y\, \textup{d}x$ giver et stort rundt $0$ .
Integrand, interval og integrationsrækkefølgen er da også på usikker grund.

Jeg vedlegger facit til trippelintegralet,

Se fil.

Vedhæftet fil:C389FA0B-1EE5-4449-AEA1-07B13A9A5262.png

Svar #9
09. december 2021 af janhaa

#6
Har prøvet med en numerisk beregning, hvor intervallet 0 ≤ y ≤ 1 deles i 300 dele
og benyttet symmetrien.

Rumfang af vand = $\frac{4}{243\cdot 10^{10}}\sum_{j=1}^{300}j^{3}\left ( 2j-1 \right )$ = 1,6100... meget nær ⁸/₅
En redegørelse gives gerne.

Se der ja, lurt!

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. december 2021 af SuneChr

Tak for det vedhæftede ad # 8. Det er god læsning, som jeg blev glad for.
Arbejder lidt med multiple integraler og har konstrueret en lille opgave:
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2032004 ,
hvor det kniber med opstilling af integralerne, - ikke den manuelle udregning af dem.
En numerisk opstilling til approximation af rumfanget volder heller ingen problemer.
Men tak for inspirationen for et videre forløb.

Skriv et svar til: Geometri jule-nøtt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.