Matematik

Bevis at (1/4)[g(x/2) + g((x+1)/2)] = g(x)

16. februar kl. 10:28 af JaTilReklamerNejTak - Niveau: A-niveau

Lad f være en positiv funktion, som opfylder

f(x/2)f((x+1)/2) = πf(x) for alle x>0.

Lad g(x) = (ln f(x))''. Kan nogen hjælpe med at bevise

(1/4) · ( g(x/2) + g((x+1)/2) ) = g(x)

for alle x>0?


Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar kl. 15:18 af Soeffi

#0. Man har:

g(x)=ln(f(x))''=[f'(x)/f(x)]'=f''(x)/ f(x)-f'(x)^2/f(x)^2

og dermed:

\\g(x)=ln(f(x/2)\cdot f(x+1)/2)/\pi)''=\\\\ln(f(x/2))''+ln(f(x+1)/2)''-ln(\pi)''=

\\(1/4)\cdot [f''(x/2)/ f(x/2)-f'(x/2)^2/f(x/2)^2+\\\\f''((x+1)/2)/ f((x+1)/2)-f'(x+1)^2/f((x+1)/2)^2]=

\\(1/4)\cdot [g(x/2)+g((x+1)/2)]


Skriv et svar til: Bevis at (1/4)[g(x/2) + g((x+1)/2)] = g(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.