Parabel og hyperbel, Vejen til Matematik A, Opgave 80, Side 96, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Til mathon, jeg prøver at løse ligningen.

1)  f( x ) = 3 / (2x - 4 ) + 1 omskriver jeg til f(x) = ( 3/2 ) (x - 2 ) +1 

Og har nu:

2)   x² - 3 = ( 3/2 ) / (x - 2 ) +1 

     ( x² - 2 )( x - 2 ) / (x - 2 ) = (3/2) / (x - 2) +1    (fællesnævner er x - 2 )

     ( x³ - 3x - 2x² + 6 ) / (x - 2 ) = ((3/2) + 1•(x - 2)) / ( x - 2 ) 

 Jeg ganger med x - 2 på begge sider af lighedstegnet og får:

     x³ - 3x -2x² + 6 = (3/2) + x - 2

(ganger igennem med 2 på begge sider af lighedstegnet)

    2x³ - 4x² - 6x + 12 = 3 + 2x - 4

    2x³ - 4x² -6x + 12 - 3 -2x + 4= 0

    2x³ - 4x² - 8x + 13 = 0

 Er disse omformninger gjort rigtigt ?

 Problemet er, at nu har jeg en tredjegradsligning.

Jeg har prøvet at løse denne ligning med TI - 89 Titanium (Texas Instruments)

Solve( 2x³ - 4x² - 8x +13 =0, { x, y } ) og får løsningen

x = - 1,901454173 and  y = (her står der ikke noget tal)

x =   1,320714347 and y = (her står der ikke noget tal)

x =   2,572739826 and y = (her står der ikke noget tal)

Facitlisten side 392 er skæringspunkterne:

( -1,90 ; 0,62 ) og ( 1,33; -1,23 ) og ( 2,27; 3,62 )

Er mit forsøg på løsning af ligningen rigtig ?

På forhånd tak

( -1,90 ; 0,62 ) og ( 1,33; -1,23 ) og ( 2,57; 3,62 )

Tak for svaret

Men kan du ikke vise, hvordan man løser ligningen og således bestemmer skæringspunkterne mellem

parablen med ligningen y = x² - 3 og hyperblen med ligningen f( x ) = 3 / (2x - 4) +1

Ligningen:

x² - 3 = 3 / (2x - 4) +1

Og kan ligningen løses uden brug af matematik-værktøjer ?

På forhånd tak

Din omformning er korrekt og kunne tjekkes med CAS. y-værdier fås ved at indsætte løsningerne i en af funktionerne.

En metode er at gætte en af løsningerne, så der fås en 2. gradsligning, men når din lommeregner giver dig dé tre løsninger som endda er afrundede, kan du sikkert godt se, at der vil gå noget tid før dit gæt passer.

Tak for svaret

Det prøver jeg

OK
         på TI-89:

Tak for svaret

Det prøver jeg

Solve(  2x^3 - 4x^2 - 8x + 13 = 0 , {x,y}) 

Jeg indsætter
x = -1,901454173 
x =  1,328714347 
x =  2,572739826 

I parablens ligning 

y = x^2 - 3

y = (-1,901454173)^2 - 3 = 0,6155187 = 0,62 

I hyperblens ligning

                 3
                ---- 
                 2
    f(x) =   -------  +1   
                x - 2
                                               3
                                             ------                                  
                                               2
f( -1,901454173 ) =    ------------------------ +1 = 0,36155277 = 0,62     
                                   -1,901454173 - 2

Skæringspunkt ( -1,90 ; 0,62)

I parablens ligning

y = 1,320714347^2 - 3 = -1,2557136 = -1,26

I hyperblens ligning
                                               3
                                             ------                                  
                                               2
f( 1,328714347 ) =    ------------------------ +1 = -1,2345182 = -1,23
                                  1,328714347 - 2

Skæringspunkt ( 1,33 ; -1,23 )

I parablens ligning 

y = 2,572739826^2 - 3 =  3,6189902 = 3,62

I hyperblens ligning
                                               3
                                             ------                                  
                                               2
f( 2,572739826 ) =    ------------------------ +1 = 3,6189902 = 3,62
                                  2,572739826 - 2

Skæringspunkt ( 2,57 ; 3,62 )

Skæringspunkterne er ( -1,90 , 0,62 ) og ( 1,32 ; -1,23 ) og ( 2,57 ; 3,62 )

Det passer med facitlisten side 392