Matematik

Differentiabelitet i flere variabel

14. marts 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hey derude,

Jeg skal vise - helst ved epsilon-delta-argumentation, at

$g(x,y)=xy^2$

er differentiabel over alt.

Jeg har en smule svært ved at forstå hvordan jeg præcis kommer i gang med den her.

Jeg har en stærk fornemmelse af at jeg skal bruge følgende sætning:

Lad $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ , hvor $\Omega \subset \mathbb{R}^k$ er en åben mængde. Hvis f har partielle aflede efeter hver af de k variable i hvert punkt af Omega, og hvis de partielle afledede $D_{1}f,... ,D_{k}f$ alle er kontinuerte i punktet a i Omega så er f differentiabel i a.

Skal jeg forstå punktet a som værende et vilkårligt punkt og dermed at funktionen så vil være differentiabel over alt?

Hvis ja, hvordan virker jeg dette stringent?

Tak på forhånd!

Svar #1
14. marts 2022 af louisesørensen2

I min bog står der ydermere:

Funktionen $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ defineret på et åben mængden $\Omega \subset \mathbb{R}^k$ , siges at være differentiabel i et punkt a $\in \Omega$ , hvis der findes en vektor c $\in \mathbb{R}^k$ , således at

$\Delta f = c\cdot \Delta x + \epsilon(\Delta x) ||\Delta x||$ $\iff \epsilon(\Delta x)=\frac{\Delta f-c\cdot \Delta x}{||\Delta x||}$

så $\Delta f = c\cdot \Delta x + \epsilon(\Delta x) ||\Delta x||$ kan opfyldes med en epsilon funktion dvs:

$\frac{\Delta f-c\cdot \Delta x}{||\Delta x||}\rightarrow 0 \: for \: \Delta x \rightarrow 0$

Svar #2
14. marts 2022 af louisesørensen2

Problemet ligger lidt i at jeg ikke forstår hvordan jeg skal bruge denne her opskrift - hvordan indsætter jeg mine variable ind i udtrykket?

Svar #3
14. marts 2022 af louisesørensen2

Hvordan bestemmes c? og skal c bestemmes?

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren

Når man undersøger for differentiabilitet, gør man det for et enkelt punkt, her a, og undersøger derefter, om dethar nogen betydning, hvad a er. Hvis udregningerne ikke afhænger af, hvor a ligger i Ω, er f differentiabel overalt i Ω.

Det er noget forvirrende, at der optræder vektorer, der ikke er markeret som vektorer. Der står f. c i stedet for c.

$\Delta f = c\cdot \Delta x + \epsilon(\Delta x) ||\Delta x||$

burde nok have været

$\Delta f = \mathbf{c}\cdot \Delta \mathbf{x} + \mathbf{\epsilon}\cdot(\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}}) ||\Delta \mathbf{x}||$

På koordinatform:

$\Delta f = c_1 \Delta x_1 +c_2 \Delta x_2 + (\epsilon_1 (\Delta x_1) + \epsilon_1 (\Delta x_1) )||\Delta \mathbf{x}||$

I din opgave er x = x₁ og y = x₂ .

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren

Der står ikke, at c skal bestemmes, kun at du skal vise, at den findes. Du kan jo vise, at den findes ved at finde den.

Svar #6
14. marts 2022 af louisesørensen2

Tak for hjælpen, Eksperimentalfysikeren - god uddybelse.

Jeg forsøger.

Skriv et svar til: Differentiabelitet i flere variabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.