Matematik

Betinget middelværdi givet x_1

08. maj 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude,

Jeg er rimelig stuck på følgende opgave... måske nogle kan give en hjælpende hånd?

Opgaveformuleringen lyder som følgende:

Lad x1, x2,... være i.i.d. fordelte s.v., og antag, at

$\mathbb{P}(X_1=1)=1-\mathbb{P}(X_1=0)=p\in(0,1)$

Lad Y være givet ved

$Y=inf\{n\in\mathbb{N}:X_n=1\}$

således at Y=n, hvor $n\in\mathbb{N}$ , hvis og kun hvis $X_{1}=.. = X_{n-1}=0, \: mens \: X_n=1$ .

Opgaven lyder på:

Vis at:

$\mathbb{E}[Y|X_1]=1+(1-X_1)\mathbb{E}[Y]$

Håber virkelig nogle har en god idé, og vil dele den med mig!

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Det må vel fx gælde, at:

$E(Y|X_{1}=1)=P(Y=1|X_{1}=1)=1$

Svar #2
09. maj 2022 af louisesørensen2

Hej Kobo,

Jeg har meget svært ved at forstå hvad opgaven ønsker. Kan du muligvis specificere det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Jeg tror, du skal vise, at hvis X1=1, så er den betingede middelværdi lig 1, og hvis X1=0, så er den betingende middelværdi lig 1+E(Y). At det forholder sig sådan, kan du se, ved at sætte X1 ind i udtrykket for den betingede middelværdi. Udfordringen er jo så at udlede det ønskede for E(Y|X1=0).

Hvis X1=0, så kan Y ikke være 1, men 2,3,4,5, ..., n. Middelværdien kan derfor ikke være lig med E(Y). Den bliver større.

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Hej Louise. Har du fået løst opgaven?

Svar #5
19. maj 2022 af louisesørensen2

Nej, desværre.

Jeg bøvler meget med den...

Jeg har fundet ud at man kan se på

$E[Y|X_1=0]=\sum_{y}y\cdot P(Y=y|X_1=0)$

hvorom det fortælles hvad er sandsynligheden for at y= f.eks. 2 givet x1 er 0, men jeg kan ikke rigtig tolke noget ud af det, og jeg kan særligt ikke bestemme noget matematisk.

Har du nogle flere hints?

(Ved godt jeg fisker en del!)

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. maj 2022 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2047811.

Skriv et svar til: Betinget middelværdi givet x_1

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.