Hvorfor må a og b ikke være nul i linjens ligning?

#0 Så er c = 0. Du har ikke en linje, men blot et punkt på tallinjen.

Når a og b begge er 0 giver det ikke en linje, men på to måder afhængigt af hvad c er.

Som du skriver bliver ligningen c=0, dvs. hvis c ikke er 0, så bliver ligningen falsk for alle punkter (x, y) i planen, og ud af ingen punkter dannes ingen linje eller noget som helst andet.

Hvis c rent faktisk er 0, så bliver ligningen sand for alle punkter (x, y), så ligningen giver hele planet hvilket heller ikke er en linje.

Man kunne sige, at da kun Origo (0,0) opfylder linjens ligning, giver ligningen ikke en linje (som har uendelig udstrækning), men et punkt (som har uendelig lille udstr.)

#3 rettelse:

Jeg tilslutter mig #3's "hvis c = 0 er sand"

#0. Lav evt. følgende inddeling, hvor c ∈ R i alle tilfælde:

1) a ∈ R ∧ b ≠ 0 (det sædvanlige tilfælde):
     Man får linjen: a·x + b·y + c = 0 eller y = (-a/b)·x - c/b, der er en ret linje gennem punktet (0, -c/b) med
     hældningen (-a/b). Denne linje er skrå, hvis a ≠ 0 og vandret, hvis a = 0. 
     Eksempel: 1·x + 2·y + 3 = 0 ⇔ y = (-1/2)·x - 3/2, der har hældningen -1/2 og skærer y-aksen i y = -3/2.

2) a ≠ 0 ∧ b = 0. Man får linjen:
    a·x + c = 0 eller x = - c/a, der er en lodret ret linje gennem (-c/a, 0).
    Eksempel: 3·x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3. 

3) a = 0 ∧ b = 0. Man får:
    0·x + 0·y + c = 0. For alle punkter (x,y) i planen giver dette ligningen: c = 0. Hvis c er sat til 0, så er dette
    sandt for alle (x,y) i planen. Hvis ikke, så er det falsk for alle (x,y), og løsningsmængden er den tomme
    mængde. 
    Eksempel: 3 = 0, hvor løsningsmængde = {∅}, og 0 = 0, hvor løsningsmængde = hele planen. 

# 5 sidste linje.
Udsagnet 3 = 0 er falsk, og løsningsmængden er ∅ og ikke {∅} , da sidstnævnte mængde faktisk indeholder (mindst ét) element, nemlig elementet ∅ .
Intet element tilhører ∅, men  ∅ ∈ {∅} .