To funktioners sum

Betingelsen for, at en funktion, f, er voksende, er at hvis a og b er tal i funtionens definitionsmængde og a <b, så er f(a) a≤b.

En anden regel, vi skal bruge, er at hvis c ≤ d og h≤k, så er c+h≤d+k.

f og g er to voksende funktioner, så hvis a < b, så er f(a)≤g(b) og g(a)≤g(b).. Vi bruger så regelen ovenfor: f(a)+g(a)≤f(b)+g(b), så funktionen f+g opfylder betingenlsen og er dermed voksende.

Hvis c≤d og h≤k  kan man ikke slutte, at ch≤dk. Eksempel: c = -2, d=1, h=-4 og k = -3 giver ch=8 og dk=-4., så selv om f og g begge er voksende kan fg godt være aftagende. Hvis de begge kun antager positive værdier og er voksende, vil produktfunktionen fg også være voksende.

#0. Betragt f(x) og g(x) som begge er differentiable og voksende, dvs.: f'(x) > 0, g'(x) > 0. 

(f+g)' = f'+g' > 0, da f' og g' begge er større end 0.

(f·g)' = f'·g+f·g'. Dette kan være mindre end 0, hvis den ene eller begge funktioner er mindre end nul.

Eksempler:

1) f(x) = -e^-x og g(x) = -1/x, x > 0, som begge er negative og voksende.
    (f·g)(x) = e^-x/x, som er aftagende.

2) f(x) = e^x og g(x) = x³, x ∈ R, som begge er voksende. f(x) > 0 for alle x, mens g(x) < 0 for x < 0.
    (f·g)(x) = e^x·x³, er aftagende for x < -3 og voksende for x > -3.

Tak for dit indput, og fedt med nogle flere eksempler:)