Matematik

Naturlige eksponentialfunktion

16. juni 2022 af Niels39 - Niveau: B-niveau

Kan det passe at den naturlige eksponentialfunktion er defineret som at b=1, og at hældningen i punktet (0,1) er lig med 1 (altså i selve eksponentialfunktionen $f(x)=b*a^x$ )

Eller hvordan kan man definere den naturlige eksponentialfunktion, jeg er godt klar over at den er defineret som den omvendte funktion til ln(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2022 af ringstedLC

Nej og nej:

$\begin{align*} \textup{Generel eksp.-funktion: } f(x)&= b\cdot a^{x} \\ \textup{m. h\ae ldningen: }f'(x) &= a^{x}\cdot \ln(a) \\ f'(0) &= a^0\cdot \ln(a)=\ln(a) \\\\ \textup{Naturlig eksp.-funktion: } f(x)&= b\cdot e^{x} \\ \textup{m. h\ae ldningen: }f'(x) &= e^{x}\cdot \ln(e) \\ f'(x) &= e^{x}\cdot 1=e^{x} \\ f'(0) &= e^0=e\;{\color{Red} \neq }\;1\end{align*}$

Svar #2
16. juni 2022 af Niels39

Hvordan kan jeg så definere den ellers? altså hvordan går man fra den ikke-naturlige til den naturlige?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. juni 2022 af SuneChr

Man har generelt:
a^x = e^{xln a}= (e^{ln a})^xa > 0 ∧ x ∈ R

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. juni 2022 af Soeffi

#1. Læs venligst https://sites.google.com/a/sg.dk/matematik-for-3ma34/b/2-Vkstmodeller/2-1-Den-naturlige-eksponentialfunktion. Definitionerne har ændret sig i de senere år.

En eksponentialfunktion var engang lig med en funktion på formen f(x) = b·e^a·x, hvor b > 0 og a ≠ 0. Dette udtryk kan man godt støde på nu om dage på A-niveau (et eksempel er i den logistiske funktion).

I dag har man på A-niveau en eksponentiel vækstfunktion, der kan skrives som f(x) = b·a^x, hvor a og b er positive tal.

På B-niveau nøjes man med at se på en eksponentialfunktion på formen f(x) = a^x, hvor a > 0.

Her gælder, at en eksponentialfunktion er en eksponentiel vækstfunktion med b = 1 som antydet i #0. Der gælder for den naturlige eksponentialfunktion, at forskriften er f(x) = e^x, hvor grundtallet e er Eulers tal. Denne har som nævnt hældningen 1 for x = 0.

For alle eksponentialfunktioner gælder i øvrigt, at f(0) = 1, idet a⁰ = 1 for a ≠ 0. Der gælder også, at de er voksende for a > 1 og aftagende for 0 < a < 1. For a = 1 får man konstanten 1.

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. juni 2022 af mathon

$\begin{align*} \textup{Naturlig eksp.-funktion: } f(x)&= b\cdot e^{x} \\ \textup{m. h\ae ldningen: }f\, '(x) &= e^{x}\cdot \ln(e) \\ f\, '(x) &= e^{x}\cdot 1=e^{x} \\ f\, '(0) &= e^0=1\end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. juni 2022 af Soeffi

#5. Forkortelsen "eksp." skaber forvirring.
$\textup{Naturlig eksponentialfunktion: } f(x)= e^{x}.$

Se venligst #4.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. juni 2022 af ringstedLC

Undskyld!

#1
$\begin{align*} f'(0) &= e^0=e\;{\color{Red} \neq }\;1\end{align*}$

Det er selvfølgelig noget sludder.

Svar #8
19. juni 2022 af Niels39

#5
$\begin{align*} \textup{Naturlig eksp.-funktion: } f(x)&= b\cdot e^{x} \\ \textup{m. h\ae ldningen: }f\, '(x) &= e^{x}\cdot \ln(e) \\ f\, '(x) &= e^{x}\cdot 1=e^{x} \\ f\, '(0) &= e^0=1\end{align*}$

Så følgende passer? Men hvorfor giver funktionen differentiereret nedenstående?

$f(x)=e^x*ln(e)$

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. juni 2022 af mathon

$\small f(x)=e^x\cdot \ln(e)=e^x\cdot 1=e^x$

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. juni 2022 af mathon

Du har også:
$\small \begin{array}{llllll}&& \ln(e^x)=x\\ \textup{som differentieret}\\ \textup{giver:}\\&&\left (\ln(e^x) \right ){}'=\frac{1}{e^x}\cdot \left ( e^x \right ){}'=1\\\\&&\left ( e^x \right ){}'=e^x \end{array}$

Skriv et svar til: Naturlige eksponentialfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.