Funktioner og polynomier

#0 2.gradspolynomiets nulpunkter kan bestemmes ved nulpunktsformlen x = (- b ± √d)/2a. Som du ved afhænger antallet af diskriminanten d.

Polynomiet f(x) = x² parallelforskydes langs x-aksen med konstanten h, hvor  f(x ± h) = (x ± h)², Hvis h er positiv forskydes f mod højre, hvis h er negativ forskydes f mod venstre. I alle tilfælde ligger toppunkt på x-aksen.

Med toppunktsformlen T= (- b/2a, -d/4a) sæt p = - b/2a og q = -d/4a Forskriften for et  2.gradspolynomium omskrives til f(x) = a(x-p)² +p.

Toppunktsformlen fremkommer ved en parallelforskydning af grafen for f(x)= x²

For at opnå at toppunktet bliver (x_T, y_T) konstrueres et andengradspolynomium som
    a·(x - x_T)² + y_T
som er en skallering og parallelforskydning af f. Når udtrykket ganges ud til formen a·x² + b·x + c giver det:
    (a)·x² + (-2·a·x_T)·x + (a·x_T² + y_T)

hvoraf man ser b = -2·a·x_T, hvoraf toppunktsformlen fremkommer ved at isolere x_T.

Er der en graf der kan tegnes der passer til forklaringen?

#3 Se vedhæftet billede

#3: Ja.

Tegn f.eks. f(x) = x². Afsæt T₁ = (1,2) og forskydningsvektoren (1,2). Tegn så f₁(x) = (x-1)² + 2. Vis eventuelt at også andre punkter på f forskudt med vektoren giver grafen for f₁.