Matematik

Lebesgue målet for de naturlige tal

18. september 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude,

jeg skal beregne

$\lambda(\mathbb{N})=0$

Til det har jeg defineret $\mathbb{N}=\bigcup_{x\in \mathbb{N}}\{x\}$ . Derudover har jeg en Prop i vores lærebog som siger:

$\mu\bigg(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \bigg)\leq\sum_{n \in \mathbb{N}}\mu(A_n)$

Min plan er at sige

$\lambda(\mathbb{N})=\lambda \bigg(\bigcup_{x\in \mathbb{N}} \{x\} \bigg)\stackrel{Disjunkt}{=}\sum _{x \in \mathbb{N}}\lambda(\{x\})\stackrel{singletons\: =\: 0}{=}0$

Er dette korrekt? og iorden?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. september 2022 af norm (Slettet)

Lebesguemålet er kun defineret for halvåbne intervaller, og derfor kan du ikke måle en singleton sådan direkte. Men du kan jo skrive et vilkårligt reelt tal som fællesmængden af tælleligt uendeligt mange halvåbne intervaller:

$\left \{ x \right \}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}^{}[x,x+\frac{1}{n})$

Alle halvåbne intervaller er Borelmængder. Læg mærke til, at:

$[x,x+\frac{1}{n}) \downarrow \left \{ x \right \}$

Og at:

$\lambda ([x,x+1))<\infty$

Det vil sige, at du kan bruge egenskaben 'kontinuitet fra oven' til at måle det ønskede. Så finder du, at:

$\lambda (\left \{ x \right \})=\lim_{n \to \infty } \lambda ( [x,x+\frac{1}{n}))=\lambda ([x,x))=x-x=0$

Svar #2
19. september 2022 af louisesørensen2

Hej Norm, tak for svar.

Jeg forstår din tankegang, men jeg forstår ikke helt hvordan hele $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,...\}$ kommer i spil.

Med ovenstående tankegang kan finder jeg jo egentlig kun længden af en singleton.

Kan du uddybe?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2022 af norm (Slettet)

Hvis en singleton har Lebesguemål 0, hvad er så målet af tælleligt uendeligt (og disjunkte) mange singletons? Brug additivitetsegenskaben til afgøre dette.

Skriv et svar til: Lebesgue målet for de naturlige tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.