Matematik

Differens mellem vektorer HASTER

02. december 2022 af Sejl123 - Niveau: B-niveau

Hej alle.

Jeg har et lille problem med en opgave

Lidt information først:

Du har givet to vektorer.

Længden på vektor a = 7

Længden på vektor b = 3

Endvidere er vinklen mellem de to vektorer 60 grader

Så lyder spørgsmålene så:

a) Beregn længden af differensvektoren a-b's projektion på vektor a

b) Beregn længden af differensvektoren a-b's projektion på vektor b

Håber i kan hjælpe.


Brugbart svar (1)

Svar #1
02. december 2022 af SuneChr

a)

|((b - a)•a/|a|)·a/|a||
Her står:
b - a  prikkes med a's enhedsvektor, derefter ganges skalaren med a's enhedsvektor. Til sidst
beregnes længden af projektionsvektoren, som de perifere lodrette streger betyder.

Tilsvarende for b)

Man kan også tegne trekanten med de tre vektorer og beregne længden af projektionen,
men der forventes nok en vektorberegning.


Brugbart svar (1)

Svar #2
02. december 2022 af SuneChr

# 1
Jeg kom vist til at ombytte a og b i differencen. Den beregnede projektionsvektor skal da
ganges med (- 1), men længden er naturligvis den samme.


Svar #3
02. december 2022 af Sejl123

Tusind Tak


Brugbart svar (1)

Svar #4
02. december 2022 af Soeffi

#0.

a) Længden af  a-b's projektion på a:

\left| (\mathbf{a}-\mathbf{b})_{\mathbf{a}} \right|=\left| \frac{(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} \cdot \mathbf{a} \right|=\left| \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} \cdot \mathbf{a} \right|=

\left | \left(1- \frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|} \cdot cos(60^o) \right) \cdot \mathbf{a}\right |= \left|1- \frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|} \cdot \frac{1}{2} \right| \cdot |\mathbf{a}| = \left|1- \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} \right| \cdot 7 =\frac{11}{2}

b) Længden af a-b's projektion på b:

\left| (\mathbf{a}-\mathbf{b})_{\mathbf{b}} \right|=\left| \frac{(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \cdot \mathbf{b} \right|=\left| \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \cdot \mathbf{b} \right|=

\left | \left( \frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} \cdot cos(60^o)-1 \right) \cdot \mathbf{b}\right |=\left| \frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} \cdot \frac{1}{2} -1 \right| \cdot |\mathbf{b}| = \left| \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2}-1 \right| \cdot 3 =\frac{1}{2}


Brugbart svar (1)

Svar #5
03. december 2022 af mathon

\small \begin{array}{llllr} \textbf{eller}\\&& \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |_{\overrightarrow{a}}=\left |\overrightarrow{a} \right |-\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \cos(60\degree)=7-3\cdot \frac{1}{2}=\frac{14-3}{2}&=&\frac{11}{2}\\\\\\&& \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |_{\overrightarrow{b}}=\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \cos\left ( 60\degree \right )-\left | \overrightarrow{b} \right |=7\cdot \frac{1}{2}-3=\frac{7-6}{2}&=&\frac{1}{2} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
03. december 2022 af mathon

En tegning giver overblik.


Svar #7
03. december 2022 af Sejl123

Mange tak for hjælpen


Brugbart svar (0)

Svar #8
03. december 2022 af Soeffi

#4. Det er rigtigt. Evt.:

\\a)\;\left| (\mathbf{a}-\mathbf{b})_{\mathbf{a}} \right|=\left| \frac{(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} \cdot \mathbf{a} \right|=\left| \frac{(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} \cdot |\mathbf{a}| \right|= \left| \frac{\mathbf{a}^2-\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} \right|= \\\\\\ \left| \frac{|\mathbf{a}| ^2-| \mathbf{a}||\mathbf{b}|\cdot cos(60^o)}{|\mathbf{a}|} \right|= \left | |\mathbf{a}|- |\mathbf{b}| \cdot cos(60^o) \right |= \left|7- 3 \cdot \frac{1}{2} \right| =\frac{11}{2}

Tilsvarende for b).


Brugbart svar (0)

Svar #9
03. december 2022 af mathon

\small \begin{array}{llllll}&&\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}=\left | \overrightarrow{b}\right |\cdot \left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \cos(60\degree)=3\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=\frac{21}{2}\\ \textbf{a)} \\&& \left | \left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right ) \right |_{\overrightarrow{a}}=\frac{\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\cdot \overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{\left | \overrightarrow{a} \right |^2-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{7^2-\frac{21}{2}}{7}=7-\frac{3}{2}=\frac{14-3}{2}=\frac{11}{2} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #10
03. december 2022 af mathon

\begin{array}{lllllll} \textbf{b)} \\&& \left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)_{\overrightarrow{b}} =\frac{\left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\left | \overrightarrow{b} \right |^2}{\left | \overrightarrow{b} \right |}=\frac{\frac{21}{2}-3^2}{3} =\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #11
04. december 2022 af mathon

tastekorrektion:

\small \small \begin{array}{llllll}&&\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}=\left | \overrightarrow{b}\right |\cdot \left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \cos(60\degree)=3\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=\frac{21}{2}\\ \textbf{a)} \\&& \left | \left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )_{\overrightarrow{a}} \right |=\frac{\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\cdot \overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{\left | \overrightarrow{a} \right |^2-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{7^2-\frac{21}{2}}{7}=7-\frac{3}{2}=\frac{14-3}{2}=\frac{11}{2} \end{array}

\small \begin{array}{lllllll} \textbf{b)} \\&&\left | \left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)_{\overrightarrow{b}} \right | =\frac{\left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\left | \overrightarrow{b} \right |^2}{\left | \overrightarrow{b} \right |}=\frac{\frac{21}{2}-3^2}{3} =\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2} \end{array}


Skriv et svar til: Differens mellem vektorer HASTER

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.