Matematik

"For hvilken t-værdi er væksthastigheden størst"

07. januar 2023 af Anonym706 - Niveau: B-niveau

Jeg har følgende opgave:
"En population udvikler sig for ≥0 efter en forskrift N(t) hvor N^'(t) = -400 * t² + 800 * t"

spørsgmålet lyder:

"For hvilken t-værdi er væksthastigheden størst?"

Hvordan løser man denne opgave, uden brug af et CAS-værktøj?

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. januar 2023 af ringstedLC

Hvis der står:

$\begin{align*} N'(t) &= -400\,t^2+800\,t \end{align*}$

så har du en funktion for væksthastigheden, da den afledede af populationsfunktionen N jo netop er væksthastigheden.

Grafen for N ' er en "sur" parabel, bestem t-værdien af dens toppunkt el. differentier:

$\begin{align*} \Rightarrow N''(t)=\bigl(N'(t)\bigr)' &= \bigl(-400\,t^2+800\,t \bigr)'\;,\;x\geq 0 \\ N''(t) &= 0\Rightarrow t=... \end{align*}$

Det kan gøres med hovedet og i hånden.

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2023 af Anders521

#0 Brug hellere toppunktsformlen, for så slipper du for at differentiere. Med t = -b/2a, hvor a = -400 og b = 800, kan t let bestemmes.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. januar 2023 af ringstedLC

Grunden til at du kan bruge begge fremgangsmetoder:

$\begin{align*} \bigl(a\,t^2+b\,t)' &= 0 \\ 2a\,t+b &= 0 \\ 2a\,t &= -b \\ t &= \frac{-b}{2a}=t_{maks} \;,\;T_{N'}=\bigl(t_{maks}\,,N'(t_{maks})\bigr) \end{align*}$

Løs altså én af ligningerne:

$\begin{align*} \bigl(-400\,t^2+800\,t)' &= 0 &\textup{eller}\quad t &= \frac{-b}{2a} \\ -800\,t+800 &= 0 \\ -800\,t &= -800 &\textup{eller}\quad t &= \frac{-800}{2\cdot (-400)} \end{align*}$

Skriv et svar til: "For hvilken t-værdi er væksthastigheden størst"

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.