Matematik

Normalvektor for planen

04. april 2023 af AmandaST - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har brug for hjælp til at finde ud af, hvordan jeg finder normalvektoren til følgende plan: 

2x-4y+3z+7=0 

Jeg har prøvet at se på webmatematik, men der står kun, hvordan jeg finder normalvektoren, når der ikke er blevet ganget ind i parenteserne endnu. Det er vel ikke "bare" 2,-4 og 3 der er normalvektoren? 

Hilsen Amanda 


Brugbart svar (0)

Svar #1
04. april 2023 af SuneChr

Normalvektoren er koefficienterne til x, y og z.
Så du har anført det rigtigt.


Svar #2
04. april 2023 af AmandaST

Ok tak.


Brugbart svar (1)

Svar #3
04. april 2023 af ringstedLC

En plan er en flade i et rum (3D). Selve planen har (kun) to dimensioner \begin{align*} (\infty\cdot \infty ) \end{align*} som fx xy-planen i plangeometri, men da den kan "svæve" i rummet i uendeligt mange vinkler i forhold til akserne kræves der tre koordinater i dens ligning.

\begin{align*} \textup{Linjens ligning}:\\ l: 0 &= a\cdot \bigl(x-x_0 \bigr)+b\cdot \bigl(y-y_0 \bigr) \\ &= a\,x+b\,y+\bigl(-a\,x_0-b\,y_0\bigr) \\ 0 &= a\,x+b\,y+c &&,\;\vec{\,n}_l=\Bigl(\begin{matrix}a \\b \end{matrix}\Bigr) \\ \textup{Planens ligning}:\\ m: 0 &= a\cdot \bigl(x-x_0 \bigr)+b\cdot \bigl(y-y_0 \bigr)+c\cdot \bigl(z-z_0\bigr) \\ &= a\,x+b\,y+c\,z+\bigl(-a\,x_0-b\,y_0-c\,z_0\bigr) \\ 0 &= a\,x+b\,y+c\,z+d &&,\;\vec{\,n}_m=\Biggl(\begin{matrix}a \\b \\c \end{matrix}\Biggr) \end{align*}

Bemærk lighederne.


Brugbart svar (0)

Svar #4
05. april 2023 af ringstedLC

\begin{align*} \textup{Linjens p} &\textup{arameterfremstilling}:\\ l: \begin{pmatrix}x\\ y\\ (z)\end{pmatrix} &= \! \begin{pmatrix}x_0\\ y_0 \\(z_0)\end{pmatrix} \!+t\cdot\! \begin{pmatrix}r_1\\ r_2\\ (r_3)\end{pmatrix} &&\qquad ,\; t\in \mathbb{R} &&,\;\begin{pmatrix}r_1\\ r_2\\ (r_3)\end{pmatrix} = \vec{\,r}_l \\\\ \textup{Planens } &\textup{parameterfremstilling}:\\ m: \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{matrix} &= \! \begin{pmatrix}x_0\\ y_0\\ z\end{pmatrix} \!+s\cdot\! \begin{pmatrix}p_1\\ p_2\\ p_3\end{pmatrix} \!+t\cdot\! \begin{pmatrix}q_1\\ q_2\\ q_3\end{pmatrix} &&,\; \left \{ s,t \right \} \in \mathbb{R} &&,\;\begin{pmatrix}p_1\\ p_2\\ p_3\end{pmatrix} = \vec{\,p} \nparallel \vec{\,q} = \begin{pmatrix}q_1\\ q_2\\ q_3\end{pmatrix} \\ &&&&&,\;\vec{\,p}\times \vec{\,q} \;\, = \; \vec{\,n}_m \;\,= \begin{pmatrix}{\color{Red} a}\\ {\color{Red} b}\\ {\color{Red} c}\end{pmatrix} \end{align*}

For den en-dimensionelle linje kræves et punkt med to/tre (plan/rum) koordinater og én vektor til fremstillingen.

Hvis man forestiller sig planen som en linje, der er mast ud til en flade i rummet, kræver det et punkt og to ikke-parallelle vektorer, der som linjens retningsvektor, ligger i planen for at opstille fremstillingen.

Vektorernes krydsprodukt giver planens normalvektor, ganske som tværvektoren til linjens retningsvektor gør det i plangeometri.

Udfra parameterfremstillingen for planen kan man altså opstille dens ligning. Det kan man ikke umiddelbart udfra rum-linjens fremstilling. Det skyldes, at begrebet tværvektor ikke eksisterer i rumgeometri, da en vektor vinkelret på retn.-vektoren ikke "peger" i én bestemt retning, men derimod kan "pege" hele vejen rundt om retn.-vektoren.

To sådanne vektorer giver så en plan, der står vinkelret på linjen i deres skæringspunkt. Derfor er linjens retn.-vektor en normalvektor for planen.


Skriv et svar til: Normalvektor for planen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.