Matematik

Kan man tage logaritmen på begge sider?

08. juni 2023 af 23årgammeltmenneske - Niveau: C-niveau

Jeg har nogle spørgsmål til opgaven:

$e^{2x}-4e^x-5=0$

Man kan vel ikke tage den naturlige logaritme på begge sider i dette tilfælde eller hvad, fordi man kan jo ikke tage logaritmen til 0?

Jeg kan vel heller ikke flytte lægge 5 til på begge sider og derefter tage logaritmen, da jeg så stadig kommer til at tage logaritmen til et negativ tal (det andet led på venstre side)?

$ln(e^{2x})+ln(-4e^x)=ln(5)$

Når man tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet, skal man så gøre det ledvis?

Jeg tror jeg skal bruge substitutionsmetoden til opgaven, men vil bare gerne vide grunden til, hvorfor man ikke kan tage ln på begge sider (hvis det er tilfældet), hvorfor mine spørgsmål.

Tak på forhånd!

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. juni 2023 af Anders521

#0 Kan der være tale om en skjult andengradsligning?

Svar #2
08. juni 2023 af 23årgammeltmenneske

Jo, det tror jeg det er!

Jeg er kommet frem til at svaret er ln(5), men vil stadig gerne vide svarene til mine spørgsmål !

Svar #3
08. juni 2023 af 23årgammeltmenneske

$\\ e^{2x}-4e^x-5=0 \\ z^2-4z-5=0, z=e^x \\ (z-5)(z+1)=0 \\ (e^x-5)(e^x+1)=0$

Jeg bruger derefter nulreglen og løser ligningerne:

$\\ e^x=5 \\ x=ln(5)$

$\\ e^x=-1 \\ x=ln(-1)$

Man kan ikke tage log til et negativ tal, så jeg tror ln(5) er kun en løsning.

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. juni 2023 af Anders521

$\small \begin{align*} y^2-4y+5=0&\Leftrightarrow (y+1)\cdot(y-5)=0 \\ &\Leftrightarrow y=-1\, \vee y=5 \end{align*}$

Med $\small y:=e^x$ er $\small e^x=-1 \: \vee \: e^x=5$ . Den første ligning har ingen løsning så må være svaret. Jeg tror du har ret.

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. juni 2023 af ringstedLC

#0: "... og derefter tage logaritmen" (underforstået på begge sider af lighedstegnet):

$\begin{align*} 5 &= e^{2x}-4e^{x}\Rightarrow \ln(5)=\ln\!\left (e^{2x}-4e^{x} \right )\,{\color{Red} \neq }\,\ln\left (e^{2x} \right)+\ln\left ( -4e^{x} \right ) \end{align*}$

analogt til fx:

$\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2\Rightarrow |c|=\sqrt{a^2+b^2}\;{\color{Red} \neq }\;\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \end{align*}$

Operationen foretages på hele ligningens ene- og anden side.

Svar #6
08. juni 2023 af 23årgammeltmenneske

#5 Oh okay, hvad nu hvis der stod $e^2x\cdot 4e^x$ ville man så også sige:

$\\ 5=e^{2x}\cdot4e^x \rightarrow ln(5)=ln(e^{2x}\cdot 4e^x)\neq ln(e^{2x})\cdot ln(4e^x)$

Blandt andet fordi

$log(e^{2x}\cdot 4e^x)= log(e^{2x})+log(4e^x)$

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. juni 2023 af ringstedLC

Godt eksempel!

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. juni 2023 af StoreNord

#0
Man kan da ikke tage logaritmen af en sum eller en differens!

Skriv et svar til: Kan man tage logaritmen på begge sider?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.