Matematik

Afstand mellem punkt og linje

20. juni 2023 af annonym915 - Niveau: A-niveau

opgave 6.9.21 - Rette linjer
To linjer l og m er givet ved ligningerne:

l:-x+3y+1=0og m:2x-6y+10=0

1. Vis at de to linjer er parallelle.
2. Bestem afstanden mellem de to linjer.

er der nogle der kan hjælpe mig med opgaven og forklare mig hvordan man laver opgaven

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. juni 2023 af oppenede

To linjer i planen er parellelle hvis og kun hvis de ikke skærer hinanden, så prøv at se på de to ligninger og udled en modstrid.

Svar #2
20. juni 2023 af annonym915

kan du vise mig hvordan du ville gøre det

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. juni 2023 af M2023

#0.

1) Man tager de to linjers ligninger og løser dem som sammenhørende ligninger for at finde eventuelle fælles punkter (x,y) for linjerne:

-x + 3y + 1 = 0 ∧ 2x - 6y + 10 = 0 ⇔
x - 3y - 1 = 0 ∧ x - 3y + 5 = 0 ⇔
x - 3y = 1 ∧ x - 3y = -5 ⇔
1 = -5

Det ses, at der ikke er nogen løsning, da man får en modstrid. Dermed har de to linjer ingen fælles punkter, og derfor er de parallelle.

2) Man vælger x = 0 og følgende y-værdi for et punkt på l: -0 + 3y + 1 = 0 ⇔ y = -1/3. Dermed har man punktet P(0,-1/3) på l. Afstanden fra dette punkt til m er:

$dist(P,m)=\frac{|2\cdot 0-6\cdot (-1/3)+10|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\frac{6}{\sqrt{10}}\approx1,90$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. juni 2023 af SuneChr

Man kan af de to ligninger umiddelbart se, at linjerne må være paralelle, thi deres normalvektorer er proportionale, men ikke konstantleddet. Gang med (- 2) for $l^{s}$ normalvektor. Det giver $m^{s}$ normalvektor.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. juni 2023 af mathon

1. Vis at de to linjer er parallelle

   Hvis man ikke umiddelbart bemærker,
   at normalvektorene er proportionale:

$\small \textup{det}\left ( \begin{matrix} -1 &2 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right )=-1\cdot (-6)-3\cdot 2=6-6=0$

Svar #6
23. juni 2023 af annonym915

tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. juni 2023 af M2023

#3. Eventuelt...

2) Man vælger en tilfældig x-værdi og får følgende y-værdi for et punkt på l: -x + 3y + 1 = 0 ⇔ y = (x - 1)/3. Dermed har man punktet P(x,(x - 1)/3) på l. Afstanden fra dette punkt til m er:

$\\dist(P,m)=\frac{|2 x-6(x-1)/3+10|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\frac{|2 x-2 (x-1)+10|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\\\\\\\frac{|2 x-2x+2+10|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\frac{6}{\sqrt{10}}\approx1,90$

Det ses, at afstanden er den samme for alle x.

Skriv et svar til: Afstand mellem punkt og linje

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.