Krav for differentiabel funktion

Kravet for at en funktion er "differentiabel" er at den er "differentiabel i alle punkter".

En funktion er differentiabel i et punkt hvis der er en kvantificerbar hældning. Du kan tænke på det som at funktionen skal ligne en (ikke lodret) linje før eller siden når der zoomes tilstrækkeligt ind på punktet.

Ingen af disse er differentiable i x=0:

Den røde er diskontinuert, resten er kontinuert men ikke differentiabel i x=0.
Når du zoomer på den gule bliver hældningen ved med at være +1 i højre side men -1 til venstre, så det flader aldrig ud til en linje.
Når du zoomer på den grønne vil det ligne en linje, men hældningen bliver større hele tiden uden at stoppe, så du ender ikke med at få et tal som kunne være hældningen.
Når du zoomer på den blå ændrer den aldrig udseende, og sekanten svinger mellem -1 og 1 inklusiv alle værdier imellem.

Men er det ikke bare en fancy måde at sige kontinuert på?

Nej, blå/grøn/gul illustrerer kontinuitet uden differentiabilitet.

Den skal også være differentiabel hvilket vil sige at i ethvert punkt x0 skal  (f(x0+Δx) - f(x) )/Δx have en grænseværdi for Δx->0

Hvis den opfylder definitionen for at være differentiabel er den også kontinuert, så det er faktisk et overflødigt krav at den skal være kontinuert

Men de vil vel alle sammen være linjer, hvis du zoomer nok ind på dem?

Kilde: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/kontinuitet-og-differentiabilitet

Den differentiable funktion har ingen "knæk" og er sammenhængende (kontinuert).