Matematik

Betinget sandsynlighed - Kast med terning

17. februar kl. 18:07 af Annefragrønnebakken - Niveau: A-niveau

Hej, kan I hjælpe mig med denne opgave i betignet sandsynlighed?

Der foretages to kast med en sædvandlig terning.

Hændelsen A er, at mindst et af kastene giver en sekser.

Hændelsen B er, at terningen giver en treer i det første kast.

a) Bestem sandsynlighederne P(A) og P(A|B)

b) Bestem P(B|A), og forklar, hvad denne sandsynlighed betyder,

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. februar kl. 21:19 af ringstedLC

$\begin{align*} A_1: &\;\textup{en sekser!} \\ A_2: &\;\textup{en sekser!} \\ A=A_1 &\,{\color{Red} \vee}\, A=A_2 &&\textup{en sekser i mindst et af kastene} \\ P(A) &= P(A_1)\,{\color{Red} +}\,P(A_2) &&\textup{additionsprincippet.} \\\\ B_1: &\;\textup{en treer!} \\ B_2: &\;\textup{en "ikke-treer"!} \\ B=B_1 &\,{\color{Red} \wedge}\, B=B_2 &&\textup{en treer og bagefter en "ikke treer"} \\ P(B) &= P(B_1)\,{\color{Red} \cdot }\,P(B_2) &&\textup{multiplikationsprincippet} \\ \\ P\bigl(A|B\bigr) &\;\textup{tolkes som\,\textit{P}(\textit{A})\,efter\,}B: \\ P\bigl(A|B\bigr) &= \frac{1}{K(5,1)}\cdot P(B) \end{align*}$

altså sandsynligheden for at kast 2 lander på en sekser.

Jeg er ikke så sikker på det sidste her, så vent lige og se om andre har et bedre bud.

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. februar kl. 21:19 af jl9

Med binomialfordelingen:

P(A) = P(X≥1) = P(X=1) + P(X>1) = P(X=1) + ( 1 - P(X≤1) )

Samt:

P(A|B) svarer til, hvad sandsynligheden er for at ét kast (det andet kast) giver en sekser.

Har I Bayes' teorem i pensum?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. februar kl. 21:19 af ringstedLC

$\begin{align*} P\bigl(B|A\bigr) &\;\textup{tolkes som\,\textit{P}(\textit{B})\,efter\,}A_n: \\ P\bigl(B|A_1\bigr) &= P(B)\cdot 0 &&\textup{Kast\,1\,giver\,en\,sekser} \\ P\bigl(B|A_2\bigr) &= P(B_1)\cdot 1 &&\textup{Kast\,2\,giver\,en\,sekser} \end{align*}$

Igen; vent lidt og se om andre har et bedre bud.

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. februar kl. 21:25 af M2023

#0. a) P(A) er sandsynlighden for mindst en sekser i to kast. Det kan ske på tre måder:

1) en sekser i første kast og ingen sekser i andet, p = (1/6)·(5/6) = 5/36

2) ingen sekser i første kast og en sekser i andet, p = (1/6)·(5/6) = 5/36

3) en sekser i første kast og en sekser i andet, p = (1/6)·(1/6) = 1/36

Disse er uafhængige, da det ene kast ikke påvirker det andet. Sandsynligheden er 11/36.

P(A|B) er sandsynlighden for at slå mindst en sekser, hvis man slår en treer i første kast.

Det kan lade sig gøre på en måde: en treer og en sekser. Sandsynlighden for det er 1/6.

b) P(B|A) er sandsynligheden for at slå en treer i første kast, hvis mindst en terning giver en sekser. Som før får man:

1) en sekser i første kast og ingen sekser i andet, p = 0

2) ingen sekser i første kast og en sekser i andet, p = 1/6

3) en sekser i første kast og en sekser i andet, p = 0

Sandsynligheden er P(B|A) = 1/6.

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. februar kl. 22:25 af jl9

P(B|A) må være mindre end P(B)

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. februar kl. 23:05 af oppenede

b) P(B|A) er sandsynligheden for at slå en treer i første kast, hvis mindst en terning giver en sekser.
Der er 11 mulige (1-5, 6) (6, 6) (6, 1-5), hvoraf kun (3, 6) er gunstig, dvs. 1/11.

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. februar kl. 23:24 af jl9

b) Med Bayes:

$P(B|A)=\frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}=\frac{(1/6) \cdot (1/6)}{(11/36)}=\frac{1/36}{11/36}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. februar kl. 14:46 af M2023

#5. Jeg er enig med #6. Det som jeg fandt i #4 var sandsynligheden for at første kast var en treer, hvis det andet var en sekser. Det er ikke det samme som P(B|A).

Man kan også sige:

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B) }{P(A)}=\frac{1/36}{11/36}=\frac{1}{11}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. februar kl. 16:30 af AMelev

Ad #6 og #8 Den nemmeste måde at overskue kast med to terninger er nok at lave en 6x6 tabel over udfaldene og der markere hændelserne.

Som det fremgår, indeholder udfaldsrummet U 36 udfald, A∩B kun udfaldet (3,6), og A indeholder 11 udfald.
Da der er tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt er P(H) = [Antal udfald i H]/[antal udfald i U], hvilket tilsammen giver

#8 $P(B|A)=\frac{P(A\cap B) }{P(A)}=\frac{1/36}{11/36}=\frac{1}{11}$

Vedhæftet fil:Billede.jpg

Skriv et svar til: Betinget sandsynlighed - Kast med terning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.