Hyperbolske funktioner

Se fx https://da.wikipedia.org/wiki/Hyperbolske_funktioner

En af lighederne mellem de trigonometriske funktioner og de hyperbolske er, at mens (cos(t),sin(t)) er parameterfremstilling for en cirkel, er (cosh(t),sinh(t)) parameterfremstilling for den højre del af en hyperbel, der har y=x og y=-x som assymptoter.

cos og sin er løsninger til differentialligninger af formen y ' ' = ay, hvor a er negativ. Hvis a er positiv, er det i stedet cosh og sinh, der er løsninger.

De har næsten ens rækkeudviklinger.

Mens sin(t) = (exp(it)-exp(-it))/(2i) er sinh(t) = (exp(t)-exp(-t))/2

Tilsvarende for cos og cosh.

https://da.wikipedia.org/wiki/K%C3%A6delinje

https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

#0. Prøv også at læse om keglesnit.

#2

...er
         

parameterfremstilling for den højre del af en hyperbel, der har y=x og y=-x som asymptoter.

#5

er parameterfremstillingen for højre del af hyperblen.

er parameterfremstillingen for venstre del af hyperblen

...er
         

parameterfremstilling for den højre del af en hyperbel, der har y=x og y=-x som asymptoter.

#7 er direkte forkert.

En parameterfremstilling angiver et punkts koordinater som funktion af en parameter, her t.

Tegnet ∪ angiver foreningsmængden af to mængder, men et punkt er ikke en mægde, så man kan ikke tage foreningsmængden her.

Der er ingen grund til at begrændse definitionsmængden til de ikkenegative reelle tal. Assymptoten for t gående mod uendelig er y=x og for t gående mod minus udendelig er den y=-x.

Definitionsmængden begrænses for kun at få den højre del af kurven.

Prøv at tegne kurven. Den højre del "starter" i (-udendelig,-uendelig), krydser x-aksen i (1,0) og "slutter i (uendelig, uendelig). Hvis definitionsmængden begrænses til ikkenegative reelle tal, er det den nederste del af kurven, der kommer til at mangle.

Hyperblen har ligningen x²-y²=1 svarende til cirkelns x²+y²=1.