Side 2 - En skiløbers hastighed - acceleration, Vejen til Fysik B2, Opgave 145, Side 204, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh) - Fysik

Svar #21
18. maj 2024 af ca10

Tak for svaret

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #22
19. maj 2024 af Eksperimentalfysikeren

$\\ v(t)=84m/s \cdot \frac{e^{0,17\cdot t}-1}{e^{0,17\cdot t}+1}$

Brøken forlænges med e^{-0,17 t/2}/2:

$\\ v(t)=84m/s \cdot \frac{(e^{0,17\cdot t}-1)\cdot e^{-0,17 t/2}/2}{(e^{0,17\cdot t}+1)\cdot e^{-0,17 t/2}/2}=\\ 84m/s\cdot \frac{(e^{0,17 t / 2}-e^{-0,17 t / 2})/2}{(e^{0,17 t / 2}+e^{-0,17 t / 2})/2}=\\ 84m/s \cdot \frac{sinh(0,17 t/2)}{cosh(0,17t/2)}$

Indsættes t=10s fås v(10) = 58m/s, idet sinh(0,17*10/2) = 0,956 og cosh(0,17*10/2) = 1,384.

$\\ a(t)= 84m/s \cdot \frac{(sinh(0,17 t/2))'cosh(0,17t/2)-sinh(0,17 t/2)(cosh(0,17t/2))'}{cosh^{2}(0,17t/2)}=\\ 84m/s \cdot \frac{0,17/2 \cdot cosh^{2}(0,17t/2)-0,17/2 \cdot sinh^{2}(0,17 t/2)}{cosh^{2}(0,17t/2)}=\\ 84m/s \cdot 0,17/2 \cdot \frac{1}{cosh^{2}(0,17t/2)}$

Indsættes t=10s fås a(10) = 3,73 m/s²

$\\ s(t)=\int_{0}^{10}84m/s \cdot \frac{sinh(0,17 t/2)}{cosh(0,17t/2)}dt$

Her er det praktisk at indføre u=0,17t/2 og du = 0,17/2dt:

dt = du/(0,17/2)

Integralet går så fra 0 til 10*(0,17/2)=0,85

$\\ s(t)=84m/s \cdot \int \frac{sinh(u)}{cosh(u)}du=\\ 84m/s \cdot \frac{(cosh(u))'}{cosh(u)}du=\\ 84m/s\cdot ln(cosh(u))$

Svar #23
19. maj 2024 af ca10

Til Svar #22 Eksperimentailfysikeren

Tak for svaret.

Jeg ser næmere på det

På hånd tak

Svar #24
27. maj 2024 af ca10

Til Svar #22 Eksperimentailfysikeren

Jeg har prøvet at se nærmere på dit svar

Du skriver

e^{0,17 • t} - 1

v( t ) = 84 m/s • ----------------------

e^0,17 + 1

Brøken forlænges med e^-0,17t/2/2:

( e^0,17 • t - 1 ) • e-0^,17t/2/2

v( t ) = 84 m / s • ----------------------------------- =

( e^0,17+ 1 ) • e^-0,17t/2/2

( e^0,17 • t - 1 ) • ( e^-0,17t/2 ) / 2

84m / s • ------------------------------------------- =

( e^0,17 + 1 ) • ( e^-0,17t/2) / 2

sin h ( 0,17 t /2 )

84 m / s • ----------------------------- =

cos h ( 0,17 t / 2)

Mit spørgsmål er, hvilken talværdi har h så man kan bestemme v ( t ) ?

Det samme spørgsmål gælder også

b) Hvor man skal bestemme accelerationen efter 10 sekunders forløb

Det samme spørgsmål gælder også

c Hvor stor er den tilbagelagte afstand efter 10 sekunders forløb

Mit spørgsmål er , er der ikke anden måde at løse a) b ) og c) på, da man på B - niveau ikke lærer noget om hyperbolske funktioner?

Vedrørende c)

Jeg forstår at du løser opgave c ved brug af integralregning, men man har ikke integralregning på B - niveau.

Det er først på A - niveau man har integralregning.

Mit spørgsmål er, er der ikke en anden måde man kan løse opgave c på.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #25
27. maj 2024 af ringstedLC

Der står "cosh", - ikke cos(h). Det er den hyperbolske cosinusfunktion.

Svar #26
29. maj 2024 af ca10

Til Svar # 22, Eksperimentalfysikeren

19. maj kl. 21:54 af Eksperimentalfysikeren

Jeg har set igen på dit svar bl.a vedrørende opgave a)

a) Hvor stor hastigheden efter 10 sekundes forløb?

Efter det sidste lighedstegn skriver du følgende:

sin h ( 0,17 t / 2 )

v ( t ) = 84 m/s / s • -----------------------------

cos h ( 0,17 t / 2 )

Indsættes 10 s fås v ( 10 ) = 58m/s idet sin h( 0,17 • 10 /2 ) = 0,956 og cos h ( 0,17 • 10/2 ) = 1,384

Mit spørgsmål er, hvilken talværdi har h for der står ikke hvilken talværdi h har og desuden indgår h også i din løsning i opgave b) hvor man skal bestemme accelerationen efter 10 sekunders forløb og i din løsning i opgave c) hvor man skal bestemme den tilbagelagte afstand efter 10 sekunders forløb?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #27
29. maj 2024 af ringstedLC

Der må være noget du ikke forstod i #25.

"cosh(x)" er en funktion ganske som fx "cos(x). h'et angiver selvfølgelig at det er den hyperbolske cosinusfunktion.

Svar #28
30. maj 2024 af ca10

Tak for svaret

Til Svar #26 ringstedLC

Det er rigtigt at der er noget jeg ikke har forstået.

Problemet drejer sig om svar#22

Hvor eksperimentalfysikereren skriver følgende:

sin h ( 0,17 • 10 / 2) = 0,956 og cos h ( 0,17 • 10 / 2 ) = 1,384

sin h ( 0,17 • t /2 )

84 m / s • ----------------------------- =

cos h ( 0,17 t / 2)

når jeg indsætter t = 10 får jeg følgende:

sin h ( 0,17 • 10 /2 )

84 m / s • ----------------------------------- = 80,02

cos h ( 0,17 • 10 / 2)

og det er jo forkert.

Mit spørgsmål er, hvilket tal skal der stå på den plads hvor der står h, for hvilket tal udgøre h, for det h indgår i de efterfølgende svar ?

Brugbart svar (1)

Svar #29
30. maj 2024 af ringstedLC

"Problemet drejer sig om svar#22". Nej. problemet er at du læser vores svar forkert.

Den hyperbolske cosinusfunktion noteres cosh(t)

Iøvrigt; forklar lige hvordan du overhovedet har fået resultatet 80,02. Den opstillede beregning er det rene volapyk, hvad enten h er kendt eller ej, for CAS/lommeregner.

Brugbart svar (1)

Svar #30
30. maj 2024 af Eksperimentalfysikeren

cosh er IKKE cos h. Det er en forkortelse, der bruges for den hyperbolske cosinus, og tilsvarende for sinh.

Prøv at tegne kurven med parameterfremstillingen P(t)=(cosh(t),sinh(t)). Du kan gre det med et regneark. GeoGebra eller et andet CAS-værktøj. Gør det samme med P(t)=(cos(t),sin(t)).

Svar #31
31. maj 2024 af ca10

Tak for svarene

Til Svar # 29 ringstedLC og Svar # 30 Eksperimentalfysikeren

Jeg godt se at det er noget volapyk.

Baggrunden for, at jeg ikke forstår løsningsmetoden med anvendelse af hyperbolske funktioner skyldes at man hverken i bøgerne Vejen til Matematik B2 og i Vejen til Matematik A og i bogen Vejen til Fysik B2 lære rman ikke noget om hyperbolske funktioner.

Derfor undre det mig at der en opgave (145) i Vejen til Fysik B, hvor skal anvende hyperbolske funktioner for at kunne løse opgave når man ikke har lært noget om hyperbolske funktioner på B-niveau.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #32
31. maj 2024 af Eksperimentalfysikeren

Opgaven kan godt løses uden brug af hyperbolske funktioner.

Jeg ved ikke, om hyperbolske funktioner stadig er en del af gymnasiepensum, men jeg valgte at benytte dem her, fordi det kan være en hjælp, hvis man kender dem.

Det vigtigste om hyperbolske funktioner:

cosh(x) = ½(e^x+e^-x)

sinh(x) = ½(e^x-e^-x)

Prøv at differentiere dem.

Svar #33
31. maj 2024 af ca10

Ti Svar # 32 Eksperimentalfysikeren

Det prøver jeg.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #34
31. maj 2024 af ringstedLC

#31
Baggrunden for, at jeg ikke forstår løsningsmetoden med anvendelse af hyperbolske funktioner skyldes at man hverken i bøgerne Vejen til Matematik B2 og i Vejen til Matematik A og i bogen Vejen til Fysik B2 lære rman ikke noget om hyperbolske funktioner.

Nej, og derfor skrev jeg i

#18

Stor respekt for din lyst til lave opgaverne "i hånden", men beregningen overgår langt, såvidt jeg kan se, hvad der læres på noget gymnasielt niveau.

____________

#31
Derfor undre det mig at der en opgave (145) i Vejen til Fysik B, hvor skal anvende hyperbolske funktioner for at kunne løse opgave når man ikke har lært noget om hyperbolske funktioner på B-niveau.

Burde være: "hvor man kan anvende hyperbolske funtioner", for man kan også gøre som i:

#2
c)

$\begin{align*} s(10) &= \int_0^{10}\!v(t)\,\mathrm{d}t=321\,\textup{m} \end{align*}$

Dette beregnes med CAS.

Svar #35
31. maj 2024 af ca10

Tak for svarene.

Til Svar # 32 Eksperimentalfysikeren og Svar # 34 ringstedLC

Mit spørgsmål er, da jeg kun har TI-89 Titanium til rådighed, hvordan skal jeg beregne:

10

s ( 10 ) = ∫ v ( t ) dt = 321 m

0

med CAS

Jeg ser nærmer på dem.

På forhånd tak

Svar #36
04. juni 2024 af ca10

Til Svar # 15 Eksperimentalfysikeren

Jeg kan godt se pointen at det kan lette arbejdet ar anvende hyperbolske funktioner.

Jeg har fået fat i en formelsamling (Hyperbolske funktioner)

e^x - e^-x e^x + e^-x

sinhx = ---------------- og coshx = -------------------

2 2

Og det de to funktioner som du i dit svar # 22 kommer frem til i opgave a)

I TI - 89 Titanium i Cataloget fandt jeg de to hyperbolske funktioner, hvor der står følgende:

cosh(

sinh(

så jeg går ud fra at i parentesen kan i dette tilfælde skrive u hvor u = 0,17 • t / 2 og t = 10

Så opgave a)

sinh ( u )

v ( t ) = 84 m / s • ------------------ =

cosh ( u )

sinh (0,17 • t / 2 ) sinh (0,17 • 10 / 2 )

v ( 10 ) = 84 m / s • ------------------------------ = 84 m / s • -------------------------------- = 58 m/s

cosh ( 0,17 • t / 2 ) cosh ( 0,17 •10 / 2 )

Så langt så godt. Jeg kan også forstå se at du ved at forlænge brøkken med e^{-0,17 • t /2} / 2 vil komme frem til at tæller og nævner omskrives til hyperbolske funktioner:

e^{0,17 • t} - 1

v ( t ) = 84 m / s • -----------------------

e^{0,17 • t} + 1

Det kan godt at jeg mangler regnefærdighed, men mit spørgsmål drejer sig om følgende:

1) I udtrykket e^-^{0,17 • t /2} / 2 , hvorfor bliver eksponenten 0,17 • t divideret med 2

2) Hvis vi kun ser på brøkken som du forlænger med e^{- 0,17 • t /2} / 2 således:

( e^{0,17 • t} - 1 ) • e^{- 0,17 • t /2} / 2

----------------------------------------------- =

( e^{0,17 • t} - 1 ) • e^{- 0,17 • t /2} / 2

( e^{0,17 • t / 2} - e^{- 0,17 • t / 2}) / 2

-------------------------------------------------- =

( e^{0,17 • t / 2}+ e^{- 0,17 • t / 2}) / 2

Når man ganger et tal ind i en parents ganger man hvert led i parentesen med tallet.

så der kommer til at stå i følge min beregning e^{0,17 • t} • e^{- 0,17 • t /2} / 2 + e^{- 0,17 • t /2}/ 2

Mit spørgsmål er, hvordan bliver det første led i parentesen ( e^{0,17 • t} - 1 ) • e^{- 0,17 • t /2} / 2 til

e^{0,17 • t / 2} ( det andet led forstår jeg godt) ?

Opgave b)

Her skal man bestemme accelerationen efter 10 sekunder forløb

( sinh (0,17 t / 2)) ´ cosh ( 0,17 t / 2 ) - sinh ( 0,17 t /2 ) ( cosh ( 0,17 t / 2)) ´

a ( t ) = 84 m/ s • --------------------------------------------------------------------------------------------------------

cosh² ( 0,17 / 2 )

I min formelsamling står der følgende

Funktion Afledet funktion

f ( x ) f ´ ( x )

sin x cos x

( sinh (0,17 t / 2)) ´ • cosh ( 0,17 t / 2 ) = cosh ( 0,17 t / 2 ) • cosh ( 0,17 / 2) = cosh² ( 0,17 / 2 )

Problemet er at i Cataloget i Titanium er der ikke en hyperbolsk funktion hvor der står cosh².

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man så cosh²( 0,17 / 2 ) ?

Til Opgave c)

Her skal man bestemme den tilbagelagte afstand efter 10 sekunders forløb.

Du skriver

10 sinh ( 0,17 t / 2 )

s ( t ) = ∫ 84 m / s • -------------------------- dt

0 cosh ( 0,17 t / 2 )

Her er det praktisk at indføre u = 0,17t/2 og du = 0,17/2 dt:

dt = du / (0,17 / 2)

Integralet går så fra 0 til 10 • ( 0,17 / 2 ) = 0,85

sinh ( u )

s ( t ) = 84 m / s • ∫ ------------------ du =

cosh ( u )

(cosh ( u ) ) ´

84 m / s • ---------------------- du =

cosh ( u )

84 m / s • ln ( cosh ( u )) =

Jeg indsætter u = 0,17 t /2 = 0,17 • 10 / 2 = 0,85

84 m / s • ln ( cosh ( u )) = 84 m / s • ln ( cosh (0,85 )) = 27,2696.

Det giver ikke resultatet 321 m.

Det giver anledning til følgende spørgsmål :

For det første:

Hvad er ( cosh ( u )) ´ er lig med ?

Hvis man kun ser på brøkken, hvordan bliver integralet af brøkken så følgende::

(cosh ( u ) ) ´

∫ ---------------------- du = ln ( cosh ( u ))

cosh ( u )

Jeg ved godt det blev lidt langt.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #37
04. juni 2024 af Eksperimentalfysikeren

e^0,17t•e^-0,17t/2 = e^{0,17t+(-0,17t/2)}= e^{0,17t-0,17t/2}=e^0,17t/2

cosh²(u) er en anden måde at skrive (cosh(u))² på.Det spare nogle parenteser. Du finde cosh(u) og opløfter til anden potens.

Svar #38
04. juni 2024 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Brugbart svar (1)

Svar #39
04. juni 2024 af Amatøren

#31

"Baggrunden for, at jeg ikke forstår løsningsmetoden med anvendelse af hyperbolske funktioner skyldes at man hverken i bøgerne Vejen til Matematik B2 og i Vejen til Matematik A og i bogen Vejen til Fysik B2 lære rman ikke noget om hyperbolske funktioner."

Hej :))

Hvis du er interesseret i at vide lidt mere om de hyperbolske funktioner, bliver der givet en, efter min mening, god og ikke alt for højtidelig introduktion til den hyperbolske sinus- og cosinusfunktion i videoen:

https://www.youtube.com/watch?v=ZBJQIv1ZPdU

Det er fra en australsk undervisning, så jeg håber at det går, selvom at det er på engelsk.

Som nævnt i #18, ligger denne klasse af funktioner et stykke over gymnasieniveau, men hvis du har mod på det, kan du også med fordel se starten af forelæsningen:

https://www.youtube.com/watch?v=-zfM4sRcYng&t=3172s

Det er fra en universitetsforelæsning, så du må endelig ikke blive forurolig, hvis det går for stærkt, eller hvis ikke alt giver mening. Som allerede nævnt, ligger dette et godt stykke over B-nivaeu - selvom funktionerne, til brugen her, ikke i sig selv er mere kryptiske end andre funktioner fra gymnsasiet.

Som både @Eksperimentalfysikeren og @ringstedLC vist også allerede har nævnt, virker det i sig selv også voldsomt at være stillet en fysikopgave på B-nivaeu, hvori der indgår brugen af integralregning - idet at der, på fysik på B-nivaeu, ikke er krav til at man skal have haft matematik på A-niveau.

Svar #40
05. juni 2024 af ca10

Til Svar # 37 Eksperimentalfysikeren
Tak for svaret.
Jeg prøver at gennemregne det således:
( e^{0,17 • t} - 1 ) • e^{- 0,17 • t /2} / 2 =

( e^{0,17 • t} • e^{- 0,17 • t /2}/ 2 - 1 • e-^{0,17 • t /2 /}2 ) =

( e^0,17t+^(-0,17t/2) - ^{e- 0,17 • t /2} / 2 ) =

Jeg laver fællesnævner i eksponenten:

( e^{2 • ( 0,17t )-0,17t/2} - e^{- 0,17 • t /2} / 2 ) =

( e^0,17t/2 - ^{e- 0,17 • t /2}) / 2

cosh²(u) er en anden måde at skrive (cosh(u))²

(cosh( 0,17 • 10 / 2 ))²= (cosh (0,85))² = 1,9141

og
( sinh ( 0,17 • 10 / 2 ))² = ( sinh ( 0,85 ))² = 09,1415

b)

( sinh (0,17 •10/2)) ´• cosh ( 0,17 •10/2 ) - sinh ( 0,17•10/2 ) • ( cosh ( 0,17 • 10 / 2))´
a (10 ) = 84 m/ s • --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----=
cosh² ( 0,17 / 2 )

0,17 / 2 • cosh²( 0,17• 10/2 ) - 0,17 / 2 • sinh² ( 0,17 • 10/ 2)

84 m / s • --------------------------------------------------------------------------------- =

cosh² (0,17 • 10 /2 )

0,17 / 2 • ( cosh ( 0,17• 10/2 ))²- 0,17 / 2 • (sinh ( 0,17 • 10/ 2))²

84 m / s • ----------------------------------------------------------------------------------------- =

( cosh ( 0,17 • 10 /2 ))²

0,17 / 2 • ( cosh ( 0,17• 10/2 ))²- 0,17 / 2 • (sinh ( 0,17 • 10/ 2))²

84 m / s • ----------------------------------------------------------------------------------------- =

( cosh ( 0,17 • 10 /2 ))²

Anvender: cosh²(x) - sinh² (x) = 1 så

1

84 m / s • 0,17 /2 • ----------------------------------- = 3,73 m / s

( cosh ( 0,17 • 10 / 2 )

Jeg har problem med følgende i opgave c)

Du skriver:

10 sinh ( 0,17 t / 2)

s ( t ) = ∫ 84 m / s • --------------------------- dt

0 cosh ( 0,17 t / 2 )

Her er det praktisk at indføre u = 0,17 t / 2 og du = 0,17 / 2 dt

Integralet går så fra 0 til 10 • ( 0,17 / 2 ) = 0,85

sinh ( u )

84 m / s • ∫ -------------------- du =

cosh ( u )

( cosh ( u ))´

84 m / s • --------------------- du =

cosh ( u )

84 m / s • ln ( cosh ( u )) =

Jeg indsætter u = 0,85

84 m / s • ln ( cosh (0,85 )) = 27,2696

Mit spørgsmål er, der må være noget galt her da facit er 321 m, eller er det mig der gør noget forkert?

På forhånd tak