Matematik

Løse en ligning ved at implementere en tautologi (Diskret matematik).

07. september kl. 18:41 af Hejmeddig12344444 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej allesammen. Som det kan ses på det vedhæftede billede har jeg forsøgt at løse en ligning:

|2x+1| = |-5x+3|

ved at implementere en tautologi. Problemet er så at jeg kun har fundet en løsning for x, nemlig x = 2/7. Dette er dog kun en af løsningerne, da der endnu findes en løsning på x = 4/3. Denne løsning får jeg dog ikke regnet mig ud til. Kan nogle hjælpe og fortælle mig hvor fejlen sker?

Vedhæftet fil: Først løsning.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. september kl. 19:13 af Anders521

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. september kl. 19:13 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1<0\textup{ og }-5x+3<0\\\\&& \textup{dvs}\qquad x<-\frac{1}{2}\qquad \textup{eller }\qquad x>\frac{3}{5}\\\\\\&& -(2x+1)=-(-5x+3)\\\\&& -2x-1=5x-3\\\\&& -1+3=5x+2x\\\\&& 2=7x\\\\\\&& x=\frac{2}{7} \end{}$

Svar #3
07. september kl. 19:24 af Hejmeddig12344444

Det er også det jeg har skrevet. Problemet er dog at der findes endnu en løsning ved x = 3/5.

Svar #4
07. september kl. 19:26 af Hejmeddig12344444

Eller vent. Betyder det at jeg har valgt et forkert interval. Hvordan finder man disse interval på forhånd?

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. september kl. 19:51 af mathon

Rettelse:

$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1<0\textup{ og }-5x+3>0\\\\&& \textup{dvs}\qquad x<-\frac{1}{2}\qquad \textup{eller }\qquad x<\frac{3}{5}\\\\\\&& -(2x+1)=-(-5x+3)\\\\&& -2x-1=5x-3\\\\&& -1+3=5x+2x\\\\&& 2=7x\\\\\\&& x=\frac{2}{7} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. september kl. 20:24 af Anders521

#4 Med ligningen |2x + 1| = |3 - 5x| har du at:

2x + 1 = 3 - 5x eller 2x + 1 = - (3-5x) x = 2/7 eller x = 4/3

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. september kl. 20:27 af peter lind

. Da der er numerisk tegn i både højre og venstre side kan udtrykket på venstre side være både + højre side eller - højre side. der gælder altså

|2x+1| = |-5x+3| <=> 2x+1| = -5x+3 ∨ 2x+1 = -(-5x+3)

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. september kl. 20:47 af ringstedLC

#3 Det er også det jeg har skrevet. Problemet er dog at der findes endnu en løsning ved x = 3/5.

Nej, da

$\begin{align*} \bigl|\tfrac{2\,\cdot\,3}{5}+1\bigr| &\overset{?}{=} \bigl|\tfrac{-5\,\cdot\,3}{5}+3\bigr| \\ \bigl|\tfrac{6}{5}+\tfrac{5}{5}\bigr| &\overset{?}{=} \bigl|-3+3\bigr| \\ \tfrac{11}{5} &\;{\color{Red}\neq}\; \bigl|0\bigr|=0 \end{}$

Svar #9
07. september kl. 20:50 af Hejmeddig12344444

#8
#3 Det er også det jeg har skrevet. Problemet er dog at der findes endnu en løsning ved x = 3/5.

Nej, da

$\begin{align*} \bigl|\tfrac{2\,\cdot\,3}{5}+1\bigr| &\overset{?}{=} \bigl|\tfrac{-5\,\cdot\,3}{5}+3\bigr| \\ \bigl|\tfrac{6}{5}+\tfrac{5}{5}\bigr| &\overset{?}{=} \bigl|-3+3\bigr| \\ \tfrac{11}{5} &\;{\color{Red}\neq}\; \bigl|0\bigr|=0 \end{}$

Jeg tror du misforstår mig en anelse. Hvor er det at du anvender en tautologi til at udlede alle løsninger for x? Problemet er ikke at finde løsningerne for ligningen. Problemet er i stedet at finde løsningerne ved at anvende en tautologi (og ved brug af logiske operatorer).

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. september kl. 21:22 af ringstedLC

x = 3/5 kan vel ikke misforstås og så kontrollerer jeg løsningen. Uanset løsningsteknik skal løsninger opfylde ligningen og det gør den ikke.

Det gør derimod de to andre løsninger x = 2/7 og x = 4/3

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. september kl. 09:39 af mathon

Rettelse 2.

$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1>0\textup{ og }-5x+3>0\\\\&& \textup{dvs}\qquad x>-\frac{1}{2}\qquad \textup{eller }\qquad x<\frac{3}{5}\\\\\\&& 2x+1=-5x+3\\\\&& 7x=2\\\\\\&& x=\frac{2}{7} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. september kl. 12:03 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1>0\textup{ og }-5x+3<0\\\\&& \textup{dvs}\quad x>\frac{3}{5}\qquad \left(x>\frac{9}{15}\right)\\\\\\&& 2x+1=5x-3\\\\&& 4=3x\\\\\\&& x=\frac{4}{3}\qquad \left(x=\frac{20}{15} \right ) \end{}$

Svar #13
08. september kl. 12:21 af Hejmeddig12344444

#12
$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1>0\textup{ og }-5x+3<0\\\\&& \textup{dvs}\quad x>\frac{3}{5}\qquad \left(x>\frac{9}{15}\right)\\\\\\&& 2x+1=5x-3\\\\&& 4=3x\\\\\\&& x=\frac{4}{3}\qquad \left(x=\frac{20}{15} \right ) \end{}$

Hej Mathon. Jeg kan godt forstå udregningerne og andet, men kan ikke se hvordan du inddrager en tautologi eller hvordan:

|2x+1| = |-5x+3| <-> (2x+1>0 )AND (-5x+3<0). Jeg kan ikke helt se hvorfor du finder for |x|>0 AND |x|<0 udover at dette faktisk er en tautologi, nu når jeg kigger på det. Jeg tror bare jeg misser hele det formelle aspekt i måden du udregner på. Hvor er implikationspilene/biimplikationspilene ift. den oprindelige ligning.

Svar #14
08. september kl. 12:29 af Hejmeddig12344444

#12
$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1>0\textup{ og }-5x+3<0\\\\&& \textup{dvs}\quad x>\frac{3}{5}\qquad \left(x>\frac{9}{15}\right)\\\\\\&& 2x+1=5x-3\\\\&& 4=3x\\\\\\&& x=\frac{4}{3}\qquad \left(x=\frac{20}{15} \right ) \end{}$

Jeg kan heller ikke forstå hvordan du får 2x+1=5x-3

Brugbart svar (0)

Svar #15
08. september kl. 15:55 af peter lind

se #7

eksempel |3|=|-3| fordi |-3| = 3

Brugbart svar (0)

Svar #16
08. september kl. 15:59 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{For}\\&& 2x+1>0\textup{ og }-5x+3<0\\\\&& \textup{dvs}\quad x>\frac{3}{5}\qquad \left(x>\frac{9}{15}\right)\\\\\\&& |2x+1|=|-5x+3|\\\\&&2x+1=-(-5x+3)\\\\&&2x+1=5x-3 \\\\&&4=3x\\\\\\&& x=\frac{4}{3}\qquad \left(x=\frac{20}{15} \right ) \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #17
08. september kl. 17:16 af ringstedLC

#14

$\begin{align*}\left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\geq0 \,\wedge\,x\geq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\geq0\,\wedge\,x\leq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow 2x+1\geq0 &\,\wedge\,-5x+3\geq0\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow 2x+1=0 &\,\wedge\,-5x+3=0\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow 2x+1=-5x+3 &\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x=\tfrac{2}{7} &\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x &=\tfrac{2}{7} \\ \left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\geq0 \,\wedge\,x\geq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\leq0\,\wedge\,x\geq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow 2x+1\geq0 &\,\wedge\, -(-5x+3)\leq0\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow {\color{Red}2x+1=0} &\,\;{\color{Red}\wedge}\;\,{\color{Red}5x-3=0}\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ {\color{Red}\Rightarrow 2x+1=5x-3} &\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x=\tfrac{4}{3} &\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x &=\tfrac{4}{3} \end{}$

$\begin{align*}\left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\leq0 \,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\geq0\,\wedge\,x\leq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow -(2x+1)\leq0 &\,\wedge\,-5x+3\geq0\,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\ \Rightarrow -5x+3=0 &\,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\tfrac{3}{5} &\,\wedge\,x<-\tfrac{1}{2} \\ \Rightarrow x &\,\in \textup{\O} \\ \left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\leq0 \,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\leq0\,\wedge\,x\geq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow x\leq-\tfrac{1}{2} &\,\wedge\, x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x &\in \textup{\O} \end{}$

Svar #18
08. september kl. 20:31 af Hejmeddig12344444

#17
#14

$\begin{align*}\left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\geq0 \,\wedge\,x\geq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\geq0\,\wedge\,x\leq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow 2x+1\geq0 &\,\wedge\,-5x+3\geq0\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow 2x+1=0 &\,\wedge\,-5x+3=0\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow 2x+1=-5x+3 &\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x=\tfrac{2}{7} &\,\wedge\,-\tfrac{1}{2}\leq x\leq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x &=\tfrac{2}{7} \\ \left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\geq0 \,\wedge\,x\geq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\leq0\,\wedge\,x\geq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow 2x+1\geq0 &\,\wedge\, -(-5x+3)\leq0\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow {\color{Red}2x+1=0} &\,\;{\color{Red}\wedge}\;\,{\color{Red}5x-3=0}\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ {\color{Red}\Rightarrow 2x+1=5x-3} &\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x=\tfrac{4}{3} &\,\wedge\,x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x &=\tfrac{4}{3} \end{}$

$\begin{align*}\left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\leq0 \,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\geq0\,\wedge\,x\leq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow -(2x+1)\leq0 &\,\wedge\,-5x+3\geq0\,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\ \Rightarrow -5x+3=0 &\,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\tfrac{3}{5} &\,\wedge\,x<-\tfrac{1}{2} \\ \Rightarrow x &\,\in \textup{\O} \\ \left.\begin{matrix} \quad\;|2x+1|\leq0 \,\wedge\,x\leq-\tfrac{1}{2} \\|\!-5x+3|\leq0\,\wedge\,x\geq\;\;\tfrac{3}{5} \end{}\right\} \Rightarrow x\leq-\tfrac{1}{2} &\,\wedge\, x\geq\tfrac{3}{5} \\ \Rightarrow x &\in \textup{\O} \end{}$

Mange tak!

Brugbart svar (1)

Svar #19
08. september kl. 20:48 af ringstedLC

#18 Selv tak, og bare et lille suk..., undlad gerne at bruge citérfunktionen især på "større" svar medmindre det synes nødvendigt. Referér i stedet ved at bruge svar nr.!

Brugbart svar (0)

Svar #20
08. september kl. 23:18 af SuneChr

# 0
Alternativ metode:
Begge sider af ligningen er ikke-negativ for alle x.
Derfor kan vi kvadrere på begge sider og løse 2'grds.ligningen, hvor begge løsninger vil tilfredsstille
den originale ligning.

Skriv et svar til: Løse en ligning ved at implementere en tautologi (Diskret matematik).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.