Matematik

Differentialligninger- Opstil en model (logisistisk differentialligning)

05. december 2024 af sofia877 - Niveau: A-niveau

Hej SP

Jeg sidder her med en opgave, som jeg nogenlunde har en idé om, hvordan man løser, problemet er, at jeg tror, der nok mangler nogle information mht at finde variabelen a som indgår i modellen for en logistisk vækst. Hvis I ser i det vedhæftede billede, så får vi i princippet givet to punkter dvs y-værdier og x-værdier og vi ved havd vores øvre grænse er: m= 485. Men hvad vil a så være?

Det forvirrer mig lidt...

Vedhæftet fil: Screenshot 2024-12-05 at 16.39.07.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2024 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. december 2024 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textbf{a)}\\&\textup{Logistisk v\ae kst:}\\&&A(x)=\frac{b/a}{1+C\cdot e^{-b\cdot x}}\\\\& A\textup{ er antal fynboer}\\& \textup{i tusinder x \aa r efter}\\&\textup{\aa r 1900}\\\\&b/a \textup{ er maksimalt}\\&\textup{antal fynboer.}\\\\\\& \textup{dvs:}\\&&A(x)=\frac{485}{1+C\cdot e^{-b\cdot x}} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. december 2024 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textbf{a)} \\&&A(0)=\frac{485}{1+C\cdot e^{-b\cdot 0}}=100\\\\&&1+C=\frac{485}{100}=4.85\\\\&&C=3.85\\& \textup{dvs}\\&&A(x)=\frac{485}{1+3.85\cdot e^{-b\cdot x}}\\\\&\textup{samt}\\&&A(100)=\frac{485}{1+3.85\cdot e^{-b\cdot 100}}\\\\&& 400=\frac{485}{1+3.85\cdot e^{-100b}}\\\\&& 1+3.85\cdot e^{-100b}=\frac{485}{400}=1.2125\\\\&& 3.85\cdot e^{-100b}=0.2125\\\\&& e^{-100b}=\frac{0.2125}{3.85}=0.055195\\\\&& e^{100b}=\frac{1}{0.055195}=18.1176\\\\&& 100b=\ln(18.1176)\\\\&&b=\frac{\ln(18.1176)}{100}=0.028969\\\\\\& \textup{Model:}\\&&\Large A(x)=\frac{485}{1+3.85\cdot e^{-0.028969\cdot x}} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. december 2024 af mathon

$\normal \begin{array}{lllllll} \textbf{b)}\\&\textup{I vendepunktet}\\\\&\textup{er }A(x_o)=&\frac{b/a}{2}=\frac{1}{2}\cdot 485\\\\&\textup{hvoraf}\\&&\frac{1}{2}\cdot 485=\frac{485}{1+3.85\cdot e^{-0.028969\cdot x_o)}}\\\\&& 3.85\cdot e^{-0.028969\cdot x_o)}=1\\\\&&e^{-0.028969\cdot x_o)}=3.85^{-1}\\\\&& e^{0.028969\cdot x_o)}=3.85\\\\&& 0.028969\cdot x_o)=\ln(3.85)\\\\&&x_o=\frac{\ln(3.85)}{0.028969}=46.535\\\\&&y_o=A(x_o)=\frac{485}{1+3.85\cdot e^{-0.028969\cdot 46.535}}=242.49991\\\\&\textup{Vendepunkts-}\\&\textup{koordinater:}\\&&(x_o,y_o)=(46.535\,;242.500) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. december 2024 af M2023

#0. a) Differentialligning

$y(x)'=y(x)\cdot (b-a\cdot y(x))$

hvor x er antal år efter 1900 og y(x) er antal mennesker.

Grafer:

Vedhæftet fil:grafer.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. december 2024 af ringstedLC

a) Diff.-ligning::

$\begin{align*}y=\tfrac{M}{1\,+c\,\cdot\, e^{-a\,M\,x}}\;\textup{opfylder}\; y' &= a\cdot y\cdot(M-y)&&\textup{formel (179)} \\ \tfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x} &= \tfrac{b}{M}\cdot A\cdot(M-A)&&,\;M=\tfrac{b}{a} \end{}$

Skriv et svar til: Differentialligninger- Opstil en model (logisistisk differentialligning)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.