Spørgsmål til sandsynlighedsteori

Hej alle sammen - jeg har fået følgende opgave:

g¹?(x)=f(x)? / ∫_R? f(t)dλ(t) ,     D_f = {x = (x,y) in R² | 0 <= y <= f(x) }.

Lad X og U være uafhængige reelle stokastiske variable, så X har fordelingen med tæthed g¹ mht. λ, og U er uniformt fordelt på [0,1] Lad W være den stokastiske vektor i R² givet ved W = (X,U f(X)).

Vis, at fordelingen af W har tæthed g mht. λ²

Hint: Prøv at bestemme E[φ(X,U f(X))] for en passende klasse af målelige funktioner φ. Man kan ikke bruge den ordinære transformationssætning, fordi D_f ikke nødvendigvis er afslutningen af en åben mængde (D_f behøver ikke engang at være lukket). Men hvis man bruger Fubini først, så kan man overveje en én-dimensionel substitution.

Jeg må indrømme jeg ikke helt forstår hvor opgaven vil have mig hen. Jeg tænker netop vi skal skrive noget E[φ(X,U f(X))] = ∫_R² φ(X,U f(X)) dx op, og så prøve at få det omskrevet ved hjælp af fubini og senere noget transformationssætning - men jeg kan ikke lige få det til rigtigt at spille.

Håber nogen derude har en god ide eller to der lige kan hjælpe mig på vej :)