Matematik

Vektorfunktion - ellipse og tangenter, Vejen til Matematik A2, Opgave 288, Side 362, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

01. januar 2025 af ca10 - Niveau: A-niveau

386. Svær opgave: En ellipse er givet ved

x - 1 + 3 cos t

( ) = ( ) 0 ≤ t < 2 π

y 3 + 4 sin t

a) Tegn ellipsen og bestem dens centrum

b) Ellipsen har to tagenter, der er parallelle med

√ ( 3 )

vektoren ( )

a) Bestem en parameter fremstilling for hver af disse tangenter

b) Bestem den vinkel disse tangenter danne med x - aksen

--------------------------------------------------------------------------------------

Se evt. den vedhæftede fil med opgaveteksten og facit.

Jeg har ingen anelse om hvordan man løser opgave a og b. Det er muligt at man skal anvende et matematikprogram til at løse a og b, men jeg har ikke noget matematikprogram.

Mit spørgsmål er, hvordan løser man opgave 386.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: OPGAVE 386 OG FACIT.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. januar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll}\textbf{a)}\\&& \begin{pmatrix}x \\y \end{}=\begin{pmatrix} -1+3\cdot \cos(t)\\3+4\cdot \sin(t) \end{} \Leftrightarrow\frac{(x+1)^2}{3^2}+\frac{(y-3)^2}{4^2}=1\\\\& \textup{Centrum}&(-1,3) \end{}$

Svar #2
01. januar 2025 af ca10

Til svar #1 mathon

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #3
02. januar 2025 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. januar 2025 af ringstedLC

$\begin{align*} \vec e\,(t)=\binom{-1+3\cos(t)}{\;\;\,3+4\sin(t)} \Rightarrow \vec e\,'(t) &= \binom{-3\sin(t)}{\;\;\;4\cos(t)} \;,\;0\leq t\leq 2\pi \\ \vec u &= \binom{\sqrt 3}{4} \\ \vec e\,'(t) \parallel \vec u \Rightarrow 0 &= \textup{det}\bigl(\vec e\,'(t),\vec u\,\bigr) \Rightarrow t=\left\{\begin{matrix}t_1 \\ t_2 \end{matrix}\right. \\ \textup{Tangenter}:\\ \binom{x}{y} &= \binom{-1+3\cos(t_1)}{\;\;\,3+4\sin(t_1)}+s_1\cdot\binom{\sqrt 3}{4}\;,\;s_1\in\mathbf R \\ \binom{x}{y} &= \binom{-1+3\cos(t_2)}{\;\;\,3+4\sin(t_2)}+s_2\cdot\binom{\sqrt 3}{4}\;,\;s_2\in\mathbf R \end{}$

$\begin{align*} \textup{Vinkel}:\angle \theta &= \tan^{-1}\bigl(\tfrac{4}{\sqrt 3} \bigr) \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
02. januar 2025 af ringstedLC

Bemærk: I facitlistens koordinater skal der ses bort fra kommaerne.

Vedhæftet fil:ScreenShot_20250102220433.png

Svar #6
03. januar 2025 af ca10

Til Svar #3, 4,5. ringstedLC

Jeg ser nærmere på dem.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #7
03. januar 2025 af mathon

$\begin{array}{llllllll} \textbf{Parameterfremstilling }\\ \textbf{af tangenter:}\\&\begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}\frac{-3\sqrt{3}}{2}-1\\5 \end{}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\4 \end{}\\\\\\& \begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}\frac{3\sqrt{3}}{2}-1\\1 \end{}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\4 \end{} \end{}$

Svar #8
03. januar 2025 af ca10

Til Svar #7 mathon

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
03. januar 2025 af ringstedLC

#7 Fremstillingerne giver et punkt på hver af tangenterne.

Brugbart svar (1)

Svar #10
03. januar 2025 af mathon

JA
Rettelse:

$\begin{array}{llllllll} \textbf{R\o ringspunkter: } \\&\begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}\frac{-3\sqrt{3}}{2}-1\\5 \end{}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\4 \end{}\\\\\\& \begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}\frac{3\sqrt{3}}{2}-1\\1 \end{}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\4 \end{} \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #11
03. januar 2025 af mathon

2. rettelse

$\begin{array}{llllllll} \textbf{R\o ringspunkter: } \\&\begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}\frac{-3\sqrt{3}}{2}-1\\5 \end{}\\\\\\& \begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}\frac{3\sqrt{3}}{2}-1\\1 \end{} \\\\\\ \textbf{Parameterfremtilling}\\ \textbf{af tangenter:}\\&\begin{pmatrix}x\\y\end{}=\begin{pmatrix}\frac{-3\sqrt{3}}{2}-1\\5 \end{}+s_1\cdot \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{}\\4 \end{}\\\\\\&\begin{pmatrix}x\\y \end{}= \begin{pmatrix}\frac{3\sqrt{3}}{2}-1\\1 \end{} +s_2\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\4 \end{} \end{}$

Svar #12
03. januar 2025 af ca10

Til Svar #9 ringstedLC og Svar #10 og 11 mathon

Tak for svaretr.

Jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Skriv et svar til: Vektorfunktion - ellipse og tangenter, Vejen til Matematik A2, Opgave 288, Side 362, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.