Induktionsprincippet. Matematisk Analyse Bind I, side 32, (Knut Sydsæter)

#0 Bemærk at

for n = 1 haves udsagnet  A(1) : 1² = (1/6)·(1+1)·(2·1+1) - (1-1)·(1-2)·(1-3)· ... · (1-10.000) ⇔ 1 = 1                for n = 2 haves udsagnet  A(2): 1² + 2² = (2/6)·(2+1)·(2·2+1) - (1-1)·(2-2)·(2-3)· ... · (2-10.000) ⇔ 5 = 5  

Leddet (n/6)·(n+1)·(2n+1)+(n-1)·(n-2)·(n-3)· ... ·(n-10000) vil give nul for de første 10.000 naturlig tal som nævnt i teksten.

II dit eksempel tvivlede jeg inden jeg havde læst resten på at påstanden at 1^2+2^2+3^2+...+n^2=

(n/6)(n+1)(2n+1)+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-10000). Det giver ingen mening. Du har sikkert angivet formlen forkert,

Kom med den originale tekst til formlen

#0 

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert, 

Mht. udsagnet A(2) er fejlen følgende: Du skriver ikke ligningen op, du nøjes med til at skrive højresiden. Du skriver 1+(2/6)(2+1)(2·2+1)+(2-1)(2-2). Hvad højresiden burde være, kan du se i #1.

Tak for svarene.

Jeg ser nærmere på dem

På forhånd tak

Induktionsprincippet som står på side 32 (se den vedhæftede fil):

I Matematisk Analyse gennemgås induktionsprincippet.

Lad A(n) være et udsagn for alle naturlige tal n og antag at

         a) A(1) er sandt

         b) Hvis A(K) er sant så er A(K+1) for ethvert naturligt tal n.

Da er A(n) sant for alle naturlige tal n.

A(n): 1²+2²+3²+...+n² =  (n/6)(n+1)(2n+1)+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-10000).

Jeg prøver at forstå induktionsprincippet således at venstre side af ligningen er lig med højre side af ligningen. 

         VENSTRE SIDE              =                  HØJRE SIDE

A(n): 1²+2²+3²+...+n²              =     (n/6)(n+1)(2n+1)+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-10000).

n = 1

A(1): 1²                                      =     1/6 • (1+1) • (2•1 + 1 ) + (1-1) • (1-2) • (1-3)....(1-10000) ⇔1

          1²                                     =     1/6• 2 • 3 + 0 • (-1) • (-2) ..... (1-10000) ⇔ 1

          1²                                      =     1• 6/6

           1²                                      =    1

n = 2

A (2): 1² + 2²                              =      2/6 • (2+1) • (2•2+1) + (2-1) • (2-2) • (-3)......(2-10000) ⇔5

          1² + 2²                              =      2/6 • 3 • 5 + 0 .... (2-10000) ⇔ 5

           1² + 2²                              =     2 • 3 • 5/ 6 ......(2-10000) ⇔ 5

            5                                       =     5 

n = 3

A(3):  1² + 2² + 3²                       =      3/6 • (3+1) • (2•3 + 1) + (3-1) • (3-2) • (3-3)....(3-10000) ⇔ 14

          1² + 2² + 3²                       =        3/6 • 4 • 7 + 0.....(3-10000)⇔ 14

           1² + 2² + 3²                          =       12 • 7 /6

           1² + 2² + 3²                      =        2 • 7

                          14                       =       14 

Jeg fortsætter med

n = 4

A(4):   1² + 2² + 3² + 4²                 =      4/6 • (4+1) • (2• 4+1) + (4-1) • (4-2) • (4-3) • (4-4)..... (4-10000) ⇔ 30

           1² + 2² + 3² + 4²                 =     4/6 • 5 • 9 + 0 ..... (4-10000) ⇔ 30    

            1² + 2² + 3² + 4²                =     20 • 9/6.....(4-10000) ⇔ 30    

             1² + 2² + 3² + 4²                =    10 • 3...... (4-10000) ⇔ 30    

                                    30                 =    30 

Så summen af venstre side af lighedstegenet er lig med højre side af lighedstegnet.

Der står følgende (norsk tekst, side 32):

"Ser vi tilbake på formel 1.12 som vi viste ovenfor, har vi i forhold til denne fått, et tillegg på højre side som er (n-1)(n-2) ... (n-10000). Dermed er det klart at A(n) er sant for n = 1, 2, ...., 10000 siden tillegget er 0 for hver av disse verdiene av n. Men for n>10000 første naturlige tall er formelen gal siden da er ≠0. Tiltross for at formelen gjelder for de 10000 naturlige tall er den altså ikke er den altså ikke almengyldig. Moralen skulle da være klar.

   Princippet om matematisk induksjon kan lett generaliseres til det tilfellet der vi har et utsagn A(n) for alle naturlige tall større eller lik et vilkårlig naturlig tall A (n₀) er sant og desuten at A(k) sant implicerer A(k+1) sant for alle k ≥ n₀ , da er A(n) sant for alle n ≥ n₀ ."

Mit spørgsmål er, at jeg ikke helt forstår hvad der menes med:

"Princippet om matematisk induksjon kan lett generaliseres til det tilfellet der vi har et utsagn A(n) for alle naturlige tall større eller lik et vilkårlig naturlig tall A (n₀) er sant og desuten at A(k) sant implicerer A(k+1) sant for alle k ≥ n₀ , da er A(n) sant for alle n ≥ n₀ ."

For det gælder åbenbart ikke når n > 10000. Eller hvad?

På forhånd tak

Hvis man har påstanden at en række a(n) = formel.Beviset for påstanden kan gennemføres med at udregne  a(1) bevise at a(n) => a(n+1). hvis a(1) er rigtig og a(n) => a(n+1) vil der jo gælde at a(1) er sand så må a(2) også være sand. Depå kan man bruge den igen med n = 2 og får så at a(3) er sand o.s.v.

Det var også påstanden om de n > 1000 der fik mig til at tvivle på formlen

Til Svar #6 peter lind

Tak for svaret