Bestemt grænseværdi

x går imod 0. Men, det betyder ikke at x er lig med 0. Sætter man 0 ind i nævneren, vil det være uendeligt. Derfor, skal man bruge en x-værdi, der er større end 0, f.eks 1·10^-4.

    Opgave:  lim( (ln(1+x) - x+0.5x²)/x³,x,0)

             Vi ser på nogle x-værdier, hvor det skal være større end 0

                     ln(1+0.1) - x+0.5·0.1²)/0.1³ = 0.31018

                     ln(1+0.01) - x+0.5·0.01²)/0.01³ = 0.330853

                     ln(1+0.001) - x+0.5·0.001²)/0.001³ = 0.333083

                     ln(1+0.0001) - x+0.5·0.0001²)/0.0001³ = 0.333297

Så er svaret..

               lim( (ln(1+x) - x+0.5x²)/x³,x,0) = 0.333333333

 Hvis du gerne vil udlede resultatet analytisk kan du benytte L'Hopitals regel. Den siger at der under passende antagelser gælder at

lim_x→c f(x)/g(x) = lim_x→c f'(x)/g'(x)

Du kan derfor differentiere hhv. din tæller og nævner for at få et udtryk, hvor du kan bestemme grænseværdien. Lad

f(x) = ln(1+x) - x + 0.5x²   og   g(x) = x³

Så er

f'(x) = (1+x)^-1 - 1

g'(x) = 3x²

Der stadig ikke giver et veldefineret udtryk, så vi bruger L'Hopitals regel igen

f''(x) = -(1+x)^-2

g''(x) = 6x

Og en tredje gang

f'''(x) = 2(1+x)

g'''(x) = 6

hvilket giver

2(1+x) / 6 → 1/3  for  x → 0

Alt i alt fås at

lim_x→0 (ln(1+x) - x + 0.5x²) / x³ = 1 / 3

tak til jer begge to :)