Areal af punktmængde

                 y ' =  f '(x) = e^x+2

                 f '(-2) = e^-2+2 = e⁰ = 1

                 f(-2) = e^-2+2 - 3 = 1 - 3 = -2

tangenten i (-2,-2):

                 y = f '(-2)(x+2) - 2

                 y = x + 2 - 2

                 y = x

integralkurven, den rette linje    y = x    og y-aksen afgrænser en punktmængde

Bestem den eksakte værdi af arealet af denne punktmængde.

#0

Du finder to arealer; et som befinder sig over x-aksen, og et andet som befinder sig under x-aksen.

Find først arealet over x-aksen ved:

A₁ = ln(3)-2∫⁰ f(x) dx

Det andet areal finder du ved:

A₂ = _-2∫⁰ y - f(x) dx

Læg herefter de to arealer sammen.

       f(x) = e^x+2 - 3             g(x) = x          f(x) ≥ g(x)

               A(real ) = _-2∫⁰(f(x) - g(x))dx = _-2∫⁰(e^x+2 - x - 3)dx = [e^x+2 - (1/2)x² - 3x]_-2⁰ =

                               
                       e⁰⁺² - (1/2)·0² - 3·0  -  (e^-2+2 - (1/2)·(-2)² - 3·(-2))

                       e² - 1 + 2 - 6 = e² - 5

rettelse til A₂ :

A₂ = _-2∫⁰ (x) dx - _-2∫^ln(3)-2 f(x) dx

     = 3·ln(3) - 4

     ≈ -0,704

Det første areal A₁ gav:

A₁ = ln(3)-2∫⁰ f(x) dx

     = 3·ln(3) + e² - 9

     ≈ 1,685

Hvor får I ln(3)-2 fra?

#5

f(x)'s skæring med x-aksen er x = ln(3) - 2 = -0,90 .

Arealet over x-aksen går fra x = ln(3) - 2 til x = 0 .

Se evt. linket:

Okay, hvordan ved jeg så det?

#7

Du løser f(x) = 0 og finder, at x = ln(3) - 2. Dernæst finder du arealet over x-aksen i intervallet fra x = ln(3) - 2 til x = 0:

A₁ = _ln(3)-2∫⁰ f(x) dx

     = 3·ln(3) + e² - 9

     ≈ 1,685