Differentiering af sammensat funktion

se evt.
 

Jeg forstår ganske enkelt ikke det bevis du har vedhæftet

hvad menes med  (g  o  f)'(x₀) ? 

Okay nu har jeg læst mere på det, men jeg står af når jeg skal vise at g o f  har differentialkvotienten ba. Kan du forklare hvad det er der sker derefter? 

I sådan et bevis forudsætter man, at f(x) er differentiabel i x₀ , og at funktionen g(x) er differentiabel i y₀ = g(f(x₀)) .

At f(x) er differentiabel i x₀ betyder, at differenskvotienten ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h har en grænseværdi, nemlig f'(x₀).

At g(x) er differentiabel i y₀, betyder, at differenskvotienten ( g(y₀ + k) - g(y₀)) / k har en grænseværdi, nemlig g'(y₀) .

Differenskvotienten for den sammensatte funktion g(f(x)) i x₀ er da

( g(f(x₀ + h)) - g(f(x₀)) ) / h = ( g(f(x₀ + h)) - g(f(x₀)) ) / ( f(x₀+h) - f(x₀) ) · ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h

 Her sætter man f(x₀ + h) - f(x₀) = k , så f(x₀ + h) = f(x₀) + k = y₀ + k ,

så vi kan fortsætte forrige ligning med

                    = ( g(y₀ + k) - g(y₀) ) / k · ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h

 Hvis h går mod 0, går k = f(x₀ + h) - f(x₀) mod 0 , da funktionen f er differentiabel og dermed kontinuert i x₀ .

Hvis k går mod nul, går differenskvotienten ( g(y₀ + k) - g(y₀) ) / k mod g'(y₀) , og for den sammensatte differenskvotient får vi da

      ( g(y₀ + k) - g(y₀) ) / k · ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h → g'(y₀) · f'(x₀) = g'(f(x₀)) · f'(x₀) for h → 0 .

Og - hvordan kan man blot sige at det gælder for alle sammensatte funktioner uden at tage højde for de enkelte typer?

#6, #7

k går mod 0, fordi h går mod 0 , og fordi funktionen er kontinuert i x₀ .

Det gælder for alle sammensatte funktioner af differentiable funktioner.

Så det er komplet ligegyldigt hvilken funktioner det er, så længe de er differentiable? 

Og hvad er forskellen på x₀ og y₀ ?

#9

Ja, det er helt generelt for sammensætning af differentiable funktioner.

I #5 skulle det i 1. linie være y₀ = f(x₀) , som det også blev benyttet fremefter.

I see. når man siger x₀ - er det så for at adskille det fra x for at undgå forvirring?

                ...x_o er et fixpunkt

#13

En størrelse, der ikke varieres; en størrelse, der holdes fast i de aktuelle betragtninger.

#15

Nej, med funktionen f(x) = x² er f(x₀) = x₀² , ikke x² . x₀ er ikke det samme som x, med mindre man har vedtaget for den pågældende diskussion, at det skal være sådan. Tilsvarende er f'(x₀) = 2x₀, ikke 2x .

Men man kunne jo sagtens have beregnet differenskvotienten for f ud fra punktet x med tilvækst h .

#17

Man kan jo kalde det, hvad man har lyst til, blot man definerer, hvad hvert symbol repræsenterer. Men traditionelt bruger man x, y, z om en variable størrelser, og x₀, x₁, z₂ , osv. om størrelser, der holdes fast.

#19

Man benytter 3-trinsreglen til at vise, at funktionen f(x) i punktet x = x₀ er differentiabel med den afledede f'(x₀) = 2x₀ . Da x₀ er et vilkårligt punkt, har man dermed vist, at funktionen f(x) er differentiabel i ethvert x med den afledede f'(x) = 2x .